高中函数单调性的教学设计
教学目标
1、会用等比数列的通项公式和前n项和公式解决有关等比数列一些简单问题；提高分析、解决实际问题的能力。
2、通过公式的灵活运用，进一步渗透分类讨论的思想、等价转化的思想。
函数的单调性
知识目标：初步理解增函数、减函数、函数的单调性、单调区间的概念，并掌握判断一些简单函数单调性的方法。
能力目标：启发学生能够发现问题和提出问题，学会分析问题和创造地解决问题；通过观察——猜想——推理——证明这一重要的思想方法，进一步培养学生的逻辑推理能力和创新意识。
德育目标：在揭示函数单调性实质的同时进行辩证唯物主义思想教育。：
教学重点：函数单调性的有关概念的理解
教学难点：利用函数单调性的概念判断或证明函数单调性
教 具： 多媒体课件、实物投影仪
教学过程：
一、创设情境，导入课题
[引例1]如图为2006年黄石市元旦24小时内的气温变化图．观察这张气温变化图：
问题1：气温随时间的增大如何变化？
问题2：怎样用数学语言来描述“随着时间的增大气温逐渐升高”这一特征？
[引例2]观察二次函数的图象，从左向右函数图象如何变化？并总结归纳出函数图象中自变量x和 y值之间的变化规律。
结论：（1）y轴左侧：逐渐下降； y轴右侧：逐渐上升；
（2）左侧 y随x的增大而减小；右侧y随x的增大而增大。
上面的结论是直观地由图象得到的。还有很多函数具有这种性质，因此，我们有必要对函数这种性质作更进一步的一般性的讨论和研究。
二、给出定义，剖析概念
①定义：对于函数f(x)的定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值
⑴若当<时，都有f() ⑵若当f（)，则f(x） 在这个区间上是减函数（如图4）。 ②单调性与单调区间 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有单调性，这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间。此时也说函数是这一区间上的单调函数。由此可知单调区间分为单调增区间和单调减区间。 注意： （1）函数单调性的几何特征：在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。 当x1 几何解释：递增 函数图象从左到右逐渐上升；递减 函数图象从左到右逐渐下降。 （2）函数单调性是针对某一个区间而言的，是一个局部性质。 有些函数在整个定义域内是单调的；有些函数在定义域内的部分区间上是增函数，在部分区间上是减函数；有些函数是非单调函数，如常数函数。 判断2：定义在R上的函数 f (x)满足 f (2)>f(1)，则函数 f (x)在R上是增函数。（×） 函数的单调性是函数在一个单调区间上的“整体”性质，具有任意性，不能用特殊值代替。 训练：画出下列函数图像，并写出单调区间： 三、范例讲解，运用概念 例1 、如图，是定义在闭区间[-5，5]上的函数的图象，根据图象说出的单调区间，以及在每一单调区间上，函数是增函数还减函数。 注意： （1）函数的单调性是对某一个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题。 （2）在区间的端点处若有定义，可开可闭，但在整个定义域内要完整。 例2 判断函数 f (x) =3x+2 在R上是增函数还是减函数？并证明你的`结论。 引导学生进行分析证明思路，同时展示证明过程： 证明：设任意的，且，则 由，得 于是 即。 所以，在R上是增函数。 分析证明中体现函数单调性的定义。 利用定义证明函数单调性的步骤： ①任意取值：即设x1、x2是该区间内的任意两个值，且x1 ②作差变形：作差f(x1)－f(x2)，并因式分解、配方、有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 ③判断定号：确定f(x1)－f(x2)的符号 ④得出结论：根据定义作出结论（若差0，则为增函数；若差0，则为减函数） 即“任意取值——作差变形——判断定号——得出结论” 例3、 证明函数在（0,+）上是减函数。 证明：设，且，则 由，得 又由，得， 于是即。 即。 所以，函数在区间上是单调减函数。 问题1 ：在上是什么函数？（减函数） 问题2 ：能否说函数在定义域上是减函数？ （学生讨论得出） 四、课堂练习，知识巩固 课本59页 练习：第1、3、4题。 五、课堂小结，知识梳理 1、增、减函数的定义。 函数单调性是对定义域的某个区间而言的，反映的是在这一区间上函数值随自变量变化的性质。 2、函数单调性的判断方法：（1）利用图象观察；（2）利用定义证明： 证明的步骤：任意取值——作差变形——判断符号——得出结论。 六、布置作业，教学延伸 课本60页习题2.3 ：第4、5、6题。 【教学目标】 1、知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。 2、过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势——上升或下降，初步体会函数单调性，然后数形结合，让学生尝试归纳函数单调性的定义，并能利用图像及定义解决单调性的证明。 3、情感、态度与价值观：在对函数单调性的学习过程中，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，增强学生由现象猜想结论的能力。 【教学重点】函数单调性的概念、判断。 【教学难点】根据定义证明函数的单调性。 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习。 【教学工具】教学多媒体。 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 师：同学们刚刚从楼下走到了教室，如果把每一个楼梯的台阶都标上数字，我们一起来描述一下从楼下走到教室这一过程中，同学们的位置变化。 生：随着楼梯台阶标号的增大，我们所处的位置在不断地上升。 师：（积极反馈，全班鼓掌表扬）反之，我们下楼时，我们的。位置显然是在下降的。 师：（阅读教材，人教版节首内容，引导学生看图）结合上下楼的问题，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。 观察图中的函数图象，随着函数自变量的增大（减小），你能得到什么信息？ 二、归纳探索，形成概念 我们在学习函数概念（★）时，了解了函数的定义域及值域，本节内容其实就是针对自变量与函数值之间的变化关系进行的专题研究之一──函数单调性的研究。 同学们在初中已经对函数随着自变量取值的变化函数值相应的变化情况有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是通过形象的函数图象变化情况，为函数单调性建立严格定义。 1、借助图象，直观感知 首先，我们来研究一次函数和二次函数的单调性。 师：在没有学习函数单调性的严格定义之前，函数的单调性可以理解为， 师：根据图象，请同学们写出你对这两个函数单调性的描述。 生：（独立完成，小组内互相检查，然后阅读教材，对比参照）。 2、抽象思维，形成概念 函数的性质离不开函数的定义域，在研究函数单调性时，我们也必须充分考虑到这一点，在函数的定义区间上描述随着自变量值的变化，函数值的变化情况。 师：思考，如何利用函数解析式来描述函数随着自变量值的变化，函数值的变化情况？（注意函数的定义区间） 生：在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐减小；在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐增大。 师：如果给出函数，你能用准确的数学符号语言表述出函数单调性的定义吗？ 生：（师生共同探究，得出增函数严格的定义）一般地，设函数的定义域为： ①如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是增函数； ②如果对于定义域上某个区间上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就说函数在区间上是减函数。 三、掌握证法，适当延展 【例1】下图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的。单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【例2】物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减小时，压强将增大。试用函数的单调性证明之。 师：在解决完成这个例题后，根据解题步骤归纳总结用定义证明函数单调性的一般性算法步骤：设元、作差、变形、断号、定论。 四、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，共同完成小结。 （1） 利用图象判断函数单调性； （2） 利用定义判断函数单调性； （3） 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论。 五、布置作业，拓展探究 课后探究：研究函数的单调性。 《函数的单调性》教学设计 【教材分析】 《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力及分析问题和解决问题的能力。 【学生分析】 从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么，从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。 从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述？如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的。积极心向是学生学好本节课的情感基础。 【 教学目标】 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念。 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合数学思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力。 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 【教学重点】函数单调性的概念。 【教学难点】从形与数两方面理解函数单调性的概念。 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习． 【教学手段】计算机、投影仪． 【教学过程】教学基本流程 1、 视频导入------营造气氛激发兴趣 2、 直观的认识增（减）函数-----问题探究 3、 定量分析增（减）函数）-----归纳规律 4、 给出增（减）函数的定义------展示结果 5、 微课教学设计函数的单调性 定义重点强调 ------ 巩固深化 7、 课堂收获 ------提高升华 （一） 创设情景，揭示课题 1．钱江潮，自古称之为“天下奇观”。“八月十八潮，壮观天下”。当江潮从东面来时，似一条银线，“当潮来时，大声如雷”。潮起潮落，牵动了无数人的心。 如何用函数形式来表示，起和落？ 2．教师和学生一起回忆 如何用学过的函数图象来描绘这潮起潮落呢？ 设计意图：创设钱塘江潮潮起潮落，图象的问题情境，让学生用朴素的生活语言描述他们，对变化规律的理解，并请学生将文字语言转化为图形语言，这样做可使教学过程富有情趣，可激发学生的学习热情，教学起点的设定也比较恰当，学生的参与度较高。 温故知新 （二）问题：观察学生绘制的函数的图象（实际教学中可根据学生回答的情况而定），指出图象的变化的趋势。 观察得到：随着x值的增大，函数图象有的呈上升趋势，有的呈下降趋势，有的在一个区间内呈上升趋势，在另一区间内呈下降趋势。 设计意图：学生在函数单调性这一概念的学习上有三个认知基础：一是生活体验，二是函数图象，三是初中对函数单调性的认识。对照绘制的函数图象，让学生回忆初中对函数单调性的描述的定义，并在此基础上进行概念的符号化建构，与学生的认知起点衔接紧密，符合学生的认知规律。 创设情景，揭示课题 1． 借助图象，直观感知 同学们能用数学语言把上面函数图象上升或下降的特征描述出来吗？ 画出下列函数的图象，观察其变化规律：（学生动手） 请作出函数f(x) = x+1并观察自变量变化时，函数值的变化规律． （学生先自己观察，然后通过多媒体----几何画板形象观察） 2． 微课教学设计函数的单调性 1 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而________ ． 2 在区间 ____________ 上，f(x)的值随着x的增大而 ________ ． 3、从上面的观察分析，能得出什么结论？ 学生回答后教师归纳：从上面的观察分析可以看出：不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数性质的反映，这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性（引出课题）。 在区间I内 在区间I内 高中数学函数的单调性的教学设计 【教学目标】 1、知识与技能：从形与数两方面理解函数单调性的概念，掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的方法步骤。 2、过程与方法：通过观察函数图象的变化趋势——上升或下降，初步体会函数单调性，然后数形结合，让学生尝试归纳函数单调性的定义，并能利用图像及定义解决单调性的证明。 3、情感、态度与价值观：在对函数单调性的学习过程中，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，增强学生由现象猜想结论的能力。 【教学重点】函数单调性的概念、判断。 【教学难点】根据定义证明函数的单调性。 【教学方法】教师启发讲授，学生探究学习。 【教学工具】教学多媒体。 【教学过程】 一、创设情境，引入课题 师：同学们刚刚从楼下走到了教室，如果把每一个楼梯的台阶都标上数字 ，我们一起来描述一下从楼下走到教室这一过程中，同学们的位置变化。 生：随着楼梯台阶标号的增大，我们所处的位置在不断地上升。 师：（积极反馈，全班鼓掌表扬）反之，我们下楼时，我们的位置显然是在下降的。 师：(阅读教材，人教 版 节首内容，引导学生看图 )结合上下楼的问题，引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考。 观察图 中的函数图象，随着函数自变量 的增大（减小），你能得到什么信息？ 二、归纳探索，形成概念 我们在学习函数概念时，了解了函数的定义域及值域，本节内容其实就是针对自变量与函数值之间的变化关系进行的专题研究之一──函数单调性的研究。 同学们在初中已经对函数随着自变量取值的变化函数值相应的变化情况有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务就是通过形象的函数图象变化情况，为函数单调性建立严格定义。 1、借助图象，直观感知 首先，我们来研究一次函数 和二次函数 的单调性。 师：在没有学习函数单调性的严格定义之前，函数的单调性可以理解为， 师：根据图象，请同学们写出你对这两个函数单调性的描述。 生：（独立完成，小组内互相检查，然后阅读教材，对比参照）。 2、抽象思维，形成概念 函数的性质离不开函数的定义域，在研究函数单调性时，我们也必须充分考虑到这一点， 在函数的定义区间上描述随着自变量 值的变化，函数值 的变化情况。 师：思考，如何利用函数解析式 来描述函数随着自变量 值的变化，函数值 的变化情况？（注意函数的定义区间） 生：在 上，随着自变量 值的增大，函数值 逐渐减小；在 上，随着自变量 值的增大，函数值 逐渐增大。 师：如果给出函数 ，你能用准确的数学符号语言表述出函数单调性的定义吗？ 生：（师生共同探究，得出增函数严格的定义）一般地，设函数 的定义域为 ： ①如果对于定义域上某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是增函数； ②如果对于定义域上某个区间 上的任意两个自变量的值 ，当 时，都有 ，那么就说函数 在区间 上是减函数。 三、掌握证法，适当延展 【例1】下图是定义在区间 上的`函数 ，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？ 【例2】物理学中的玻意耳定律 ( 为正常数)告诉我们，对于一定量的气体，当其体积 减小时，压强 将增大。试用函数的单调性证明之。 师：在解决完成这个例题后，根据解题步骤归纳总结用定义证明函数单调性的一般性算法步骤：设元、作差、变形、断号、定论。 四、归纳小结，提高认识 学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，共同完成小结。 （1） 利用图象判断函数单调性； （2） 利用定义判断函数单调性； （3） 证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论。 五、布置作业，拓展探究 课后探究：研究函数 的单调性。 六、板书设计 函数的单调性 一、创设情境，引入课题 二、归纳探索，形成概念 三、掌握证法，适当延展 四、归纳小结，提高认识 七、教学反思 在有限的课堂时间，使学生掌握利用数形结合的思想方法准确理解函数单调性的有关概念，加深对基本概念的认识。首先，展示一个学生都熟悉无比的情境，在这个情境中让学生直观地理解上升（递增）或下降（递减）的现象，然后针对课本所给的三个图象，结合情境中的直观现象，让学生描述这三个函数图象的特征。学生在描述函数图象特征（上升或下降）的时候较为顺利，但总觉得有错误，可又说不清理由。此时，教师指出：在叙述函数图像特征时要按照一定的标准，即观察的顺序应沿x轴正方向，自变量从左向右变化时，函数值（图像）的变化趋势，这样即可得到正确答案。学生在理解错误原因过程中亦得到了正确的研究方法。接下来，单刀直入地提出函数的单调性这个函数的性质。在直观上承认这一性质以后，由学生按学习小组，仿照刚才的分析去研究一次函数和二次函数的单调性。继而提出：图象特征如何转化为数学语言？经过学生探究思考，教师启发，学生归纳总结函数单调性的定义。结合图像，学生通过自主合作探索，自己给出了函数单调性的定义。然后让学生打开书本，与书上的表述比较，肯定他们的成果，并提示注意书本叙述的精确用语。本课学生印象深刻，理解深入，合作探究激发了学生的内驱力与自信心。 一、教材分析 本节内容是北师大版数学必修1第二章第3节函数的单调性，两课时内容，本节是第一课时。函数的单调性是函数的重要性质，学生在初中阶段，通过一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了一个初步的感性认识。 高中阶段，进一步用符号语言刻画图形语言，用定量分析解释定性结果，有利于培养学生的理性思维。从知识的结构上看，函数的单调性既是函数概念的延续和拓展，又为后续研究指数函数、对数函数、三角函数的单调性等内容的学习作准备，也为利用导数研究单调性的相关知识奠定了基础。 在研究各种具体函数的性质和应用、解决各种问题中都有着广泛的应用。函数单调性概念的建立过程中蕴涵诸多数学思想方法，对于进一步探索、研究函数的其他性质有很强的启发与示范作用。 二、学情分析 在初中阶段通过对一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识，同时经过初中的学习学生已具备了一定的观察、发现、分析、抽象、概括能力，为函数单调性的学习做好了准备，但是把具体的、直观形象的函数单调性的特征用数学符号语言进行定量刻画对高一的学生来说比较困难，同时单调性的证明又是学生在函数学习中首次接触到的代数论证内容，刚上高一的学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的。 三、教学目标 1、知识与技能： （1）使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念； （2）初步掌握利用函数图象和定义判断、证明函数单调性的'方法步骤。 2、过程与方法： （1）通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力； （2）通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力。 3、情感、态度与价值观： 通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程，体会数形结合的思想。 四、教学重点、难点 重点：函数单调性的概念；判断及证明。 难点：函数单调性概念（数学符号语言）的认知，应用定义证明单调性的代数推理论证。 五、教学、学法分析 通过对一次函数、二次函数、反比例函数的学习已经对函数的增减性有了初步的感性认识，因此探究时先以基本初等函数为载体，针对它们的图像，依据循序渐进原则，设计几个问题，通过引导学生多思，多说多练，学生回答的同时教师利用多媒体展示，使认识得到深化。在整个教学过程中主要采取教师启发讲授，学生探究学习的教学方法。 六、教学过程 （一）创设问题情境引入课题 给出德国著名心理学家艾宾浩斯描绘的著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”。 思考：随着时间t的变化，记忆量y如何变化？这条曲线告诉了你遗忘有什么规律，你打算如何对待刚学过的知识？ 学生回答，教师补充。“艾宾浩斯遗忘曲线”从左向右看图像是下降的，对此如何从数学的观点进行解释呢？这种以函数图像的上升或下降为标准对函数进行研究，这就是我们这一节课要学习的“函数的单调性”。 设计意图:利用“艾宾浩斯遗忘曲线”引入新课，可以激发学生的学习数学的兴趣，引发学生探求数学知识的欲望。 展示目标： 教师向学生展示本节课的学习目标及教学重点和教学难点。 设计意图：让学生明确本节课要学习的内容。 （二）新知探究 1、感性认识函数单调性 问题1、做出下列函数的图象。 设计意图：检查学生掌握基本初等函数图像的情况。(分组完成不同的任务，及时发现存在问题，教师进行点评。） 问题2、观察函数图象哪部分是上升的，哪部分是下降的？（从左到右） （1）函数：在整个定义域内上升。 （2）函数：在整个定义域内上升。 （3）函数：在______上升，在上下降。 （4）函数：在______上升，在上下降。 对于引导学生进行分类描述，为后面说明函数的单调性是在定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质埋下伏笔。 问题3、怎样用自变量，函数值来描述这种上升和下降？ 上升：某个区间上随自变量x的增大，也越来越大。 下降：随自变量的增大，越来越小。 问题4、你能根据自己的理解说说什么是增加的、减少的吗？ 如果函数在某个区间上随自变量的增大，y也越来越大，我们说函数在该区间上为增加的；如果函数在某个区间上随自变量的增大，y越来越小，我们说函数在该区间上为减少的。 设计意图： （1）合理设置层次，为揭示函数单调性做好铺垫。 （2）函数单调性实质上揭示了在定义域的某个子集（或某一区间）上，函数值随自变量的变化而变化，描述函数图像在这个子集（或这一区间）的升降趋势，有利于多角度、深层次揭示这一概念的本质特征，帮助学生体会运用动态观点判断函数的单调性，培养学生形象思维。 2、理性认识函数单调性 问题5、如何用数学语言表达函数值的增减变化呢？ 学生回答，教师根据实际回答情况引导学生得到函数单调性的数学表达式。 （1） 在给定区间内取两个数，例如1和2。 （2） 仿(1)，取多组数值验证均满足，所以在为增加的。 （3） 任取，因为，即，所以在上为增加的。 对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量。 设计意图：对二次函数的单调性认识由感性上升到理性认识的高度，逐步提升学生的思维高度，为学习函数的单调性做好铺垫，突破难点，同时培养学生的数学表达能力。 这是本节课的难点，为了分解难度老师启发引导学生，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义。 一般地，设函数的定义域为A，区间IA：______如果对于区间I内的任意两个变量，当时都有______，那么就说在这个区间上是增加的。 课后作业 1、必做题：习题2—3A组第2题：（2），（3）、第4，5题。 2、选作题：习题2—3 B组第2题。 设计意图：不同的人在数学上可以获得不同的发展，每个学生都能够获得这些数学，有专长的，可以进一步发展、因此设计了不同程度要求的题目。高中数学函数的单调性的教学设计 篇2
《函数的单调性》教学设计 篇3
高中数学函数的单调性的教学设计 篇4
《函数的单调性》教学设计 篇5