数学教学应当有意识、有计划地设计教学活动,引导学生体会数学与现实社会的联系,加强学生的数学应用意识,不断丰富解决问题的策略,提高解决问题的能力。下面是整理的复数的概念精选教案(优秀10篇),希望可以启发、帮助到大家。
目的要求
1.掌握复数的代数形式,理解虚数、纯虚数、实部与虚部等有关复数的概念。 2.理解复数相等的定义,并会应用它来解决有关问题。 内容分析
1.我们知道,形如a+bi(a,b∈R.以后说复数a+bi时,都有a,b∈R)的数叫做复数。复数通常用小写英文字母z表示,即z=a+bi.把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式。
复数的代数形式z=a+bi,即是与以后的几何表示、向量表示相对应,也说明任何一个复数均可以由一个有序实数对(a,b)唯一确定,是复数能由复平面内的点来表示的理论基础。复数的代数形式、几何表示、向量表示、三角形式及指数形式(本书不介绍)是复数的不同表示形式,它们既相互联系又各具特点。
2.虚数、纯虚数、实部与虚部等概念,是复数这一章的基本概念。教学中要多举一些例子让学生判别,以加深学生理解。一些初学者对虚部(z=a+bi,b叫做z的虚部,它是一个实数)和纯虚数(z=a+bi,当a=0,b≠0时,z=bi叫做纯虚数)、零(z=a+bi,当a=b=0时,z=0)和纯虚数以及虚数(z=a+bi,b≠0时,z叫做虚数)和纯虚数等相关概念容易混淆。教学中应有意识地加以强调。
3.若复数z1=a+bi,z2=c+di,则
这是复数相等的定义,也就是说,它是一项规定。由这个定义可以得出一个推论:
复数相等的定义是本章的重要基础知识之一,它是求复数值、在复数集中解方程等的重要依据。复数相等的定义与初中学习的多项式恒等的意义在本质上是一致的,说明这一点,对学生理解这一概念是有帮助的。
4.两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。因为不论怎样定义两个复数之间的一个大小关系,都不能使这种关系同时满足实数集中大小关系的四条性质:
(1)对于任意实数a、b来说,a<b,a=b,b<a这三种情况有且只有一种成立; p="" (4)如果a<b,0<c,那么ac<bc.<="" (3)如果a<b,那么a+c<b+c;="" (2)如果a<b,b<c,那么a
例如,对于复数i和2i来说,显然i≠0,且i≠2i. 若定义i<2i,0<i,则i2<2i2,即-1<-2,矛盾; 若定义i<2i,i2,矛盾; 若定义2i<i,0<i,则2<1,矛盾;< p="">
若定义2i<i,i<0,则2i2<i2,即-2<-1,矛盾。 p="" 因此,无论怎样定义i与2i的大小关系,都会导致矛盾。
5.教科书中的两道例题相对来说比较简单,学生完全有能力通过自学弄懂。因此,教师只需对其解题方法加以概述。这里安排的另外两道例题(例3和例4)有一点难度,教学中,一是要结合简易逻辑知识讲清楚ax2+bx+c≠0的解法;二是因为初中对二元二次方程组的解法要求较低,估计学生对与例4类似问题学习起来有些困难。因此要引导学生从方程思想的高度去理解本例的解法。
教学过程 1.复习提问
(1)简要说明引进新数i的必要性。 (2)引入新数i后,对它有哪两点规定? 2.提出复数的代数形式的概念
在复习提问(2)的基础上,由i的第二条性质提出复数的代数形式的概念。这时必须说明如下两点:
(1)复数的代数形式a+bi是复数的表示形式之一;
(2)任何一个复数a+bi,必须由一个有序实数对(a,b)唯一确定。 第(2)点说明可为后续学习打下基础。
3.提出虚数、纯虚数、实部与虚部等复数的有关概念
在学生掌握复数的代数形式的基础上,提出复数的有关概念是顺理成章的事。教学中注意渗透数学中的重要思想方法——分类与讨论思想,同时结合以下实例加深对复数有关概念的理解。
例1 下列数中,哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数?并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么。
113,--2,0,-i
22例2 t取何实数时,复数z=(t2-1)+(t-1)i是
(1)零? (2)纯虚数? (3)虚数?
4.提出两个复数相等的定义,即两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别对应相等。也就是
由此容易得出:
这是复数这一章中最重要的基础知识之一,它是求复数值及在复数集C中解方程的重要依据。
这里顺便说明,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。教科书中举例说1+i与3+5i不能比较大小,学生不易接受。教学中,可说明i与2i不能比较大小,以帮助学生初步了解,为什么说两个不全为实数的复数不能比较大小。
5.布置学生阅读教科书中的两道例题 6.讲解例
3、例4 例3 实数x分别取什么值时,复数 z=x2+x-6+(x2-2x-15)i 是(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?(4)零?
分析:因为x∈R,所以x2+x-6,x2-2x-15都是实数,由复数z=a+bi是实、虚数、纯虚数与零的条件可以确定实数x的值。
解:(1)当x2-2x-15=0,即x=-3或x=5时,复数z是实数; (2)当x2-2x-15≠0,即x≠-3且x≠5时,复数z是虚数;
(3)当x2+x-6=0且x2-2x-15≠0,即x=2时,复数z是纯虚数; (4)当x2+x-6=0且x2-2x-15=0,即x=-3时,复数z=0. 例4 求适合下列方程中的x与y(x、y∈R)的值。 (1)x2+2+(x-3)i=y2+9+(y-2)i; (2)2x2-5x+3+(y2+y-6)i=0.
分析:因为x,y∈R,所以由两个复数相等的定义,可列出关于x,y的方程组,解这个方程组,可求出x,y的值。
解:(1)根据复数相等的定义,得方程组
x2+2=y2+9,x-3=y-2. 所以,x=4,y=3.
(2)根据复数相等的定义,得方程组
2x2-5x+3=0, y2+y-6=0.所以,x=32,或x=1, y=-3,或y=2.7.课堂练习
教科书中的课后练习第
1、
2、3题。 8.归纳总结 (1)由学生填空:
设复数z=a+bi(a,b∈R),当________时,z为实数;当当________时,z为纯虚数;当________时,z等于零。
(2)教师对“复数的概念”这一节作简明扼要的概述。 布置作业
教科书习题5.1第
1、3题。 (洪立松 陈宗炫)
________时,z为虚数;
用复平面内的点表示复数M.
教学用具:直尺
课时安排:1课时
复数 教学目标
(1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力。 教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念。
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
注意分清复数分类中的界限:
(3)不能乱用复数相等的条件解题。用复数相等的条件要注意:
①化为复数的标准形式 ②实部、虚部中的字母为实数,即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:
①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定。这就是说,复数的实质是有序实数对。一些书上就是把实数对( )叫做复数的。
②复数 用复平面内的点Z( )表示。复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度。这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度。
③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数。但当 时, 是实数。所以,纵轴去掉原点后称为虚轴。
由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点。
④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写。要学生注意。 (5)关于共轭复数的概念
设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数。当 时, 与 互为共轭虚数。可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行。 (6)复数能否比较大小
教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:
①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小。
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:
(i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, p="" b<a这三种情形有且仅有一种成立;
(ii)如果a<b,b<c,那么a<c;< p="">
(iii)如果a<b,那么a+c<b+c;< p="">
(iv)如果a0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)< p="">
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系。
2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想。
3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答。
复数的有关概念 教学目标
1.了解复数的实部,虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数。 教学重点
复数的概念,复数相等的充要条件。 教学难点
用复平面内的点表示复数M. 教学用具:直尺 课时安排:1课时 教学过程:
一、复习提问:
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部:
复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
相等的意义,得方程组:
例2:m是什么实数时,复数 ,
(1) 是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数。
解:
(1) ∵ 时,z是实数, ∴ ,或 .
(2) ∵ 时,z是虚数,
∴ ,且
(3) ∵ 且 时,
z是纯虚数。 ∴
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数 复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面。
复数 可用点 来表示。(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上。
4.复数的几何意义:
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的。
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用 表示。若 ,则: ;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数。
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称。
三、练习
四、小结:
1.在理解复数的有关概念时应注意:
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复数集与复平面上的点注意事项:
(1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写。
(2)复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集C和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
五、作业
教学目标
(1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力。
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念。
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
注意分清复数分类中的界限:
①设 ,则 为实数
② 为虚数
③ 且 。
④ 为纯虚数 且
(3)不能乱用复数相等的条件解题。用复数相等的条件要注意:
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数,即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:
①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定。这就是说,复数的实质是有序实数对。一些书上就是把实数对( )叫做复数的。
②复数 用复平面内的点z( )表示。复平面内的点z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度。这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度。
③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数。但当 时, 是实数。所以,纵轴去掉原点后称为虚轴。
由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点。
④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。要学生注意。
(5)关于共轭复数的概念
设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数。当 时, 与 互为共轭虚数。可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行。
(6)复数能否比较大小
教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:
①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小。
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:
(i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;
(ii)如果a<b,b<c,那么a<c;
(iii)如果a<b,那么a+c<b+c;
(iv)如果a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系。
2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想。
3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答。
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部,虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数。
教学重点
复数的概念,复数相等的充要条件。
教学难点
用复平面内的点表示复数m.
教学用具:直尺
课时安排:1课时
教学过程:
一、复习提问:
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部:
复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
如果两个复数 与 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
即: 的充要条件是 且 。
例如: 的充要条件是 且 。
例1: 已知 其中 ,求x与y.
解:根据复数相等的意义,得方程组:
∴
例2:m是什么实数时,复数 ,
(1) 是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数。
解:
(1) ∵ 时,z是实数,
∴ ,或 .
(2) ∵ 时,z是虚数,
∴ ,且
(3) ∵ 且 时,
z是纯虚数。 ∴
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面。
复数 可用点 来表示。(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上。
4.复数的几何意义:
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的。
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用 表示。若 ,则: ;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数。
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称。
三、练习 1,2,3,4.
四、小结:
1.在理解复数的有关概念时应注意:
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复数集与复平面上的点注意事项:
(1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。
(2)复平面内的点z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集c和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
五、作业 1,2,3,4,
六、板书设计:
§8,2 复数的有关概念
1定义: 例1 3定义: 4几何意义:
…… …… …… ……
2定义: 例2 5共轭复数:
…… …… …… ……
复数的概念,复数相等的充要条件.
教学目标
(1)把握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类,把握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义,初步把握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想,练习学生条理的逻辑思维能力。
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念。
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注重在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义,非凡要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
分类要求不重复、不遗漏,同一级分类标准要统一。根据上述原则,复数集的分类如下:
注重分清复数分类中的界限:
①设 ,则 为实数
② 为虚数
③ 且 。
④ 为纯虚数 且
(3)不能乱用复数相等的条件解题。用复数相等的条件要注重:
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数,即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注重:
①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )唯一确定。这就是说,复数的实质是有序实数对。一些书上就是把实数对( )叫做复数的。
②复数 用复平面内的点z( )表示。复平面内的点z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度。这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度。
③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数。但当 时, 是实数。所以,纵轴去掉原点后称为虚轴。
由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点。
④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。要学生注重。
(5)关于共轭复数的概念
设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
教师可以提一下当 时的非凡情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数。当 时, 与 互为共轭虚数。可见,共轭虚数是共轭复数的非凡情行。
(6)复数能否比较大小
教材最后指出:“两个复数,假如不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注重:
①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,假如不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小。
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”:
(i)对于任意两个实数a, b来说,a<b, a=b, b<a这三种情形有且仅有一种成立;
(ii)假如a<b,b<c,那么a<c;
(iii)假如a<b,那么a+c<b+c;
(iv)假如a<b,c>0,那么ac<bc.(不必向学生讲解)
(二)教法建议
1.要注重知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注重与平面解析几何的联系。
2.注重数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注重复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想。
3.注重分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,假如不全是实数就不能本节它们的大小”没有证实,假如有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证实,可以在课下给学有余力的学生进行解答。
复数的有关概念
教学目标
1.了解复数的实部,虚部;
2.把握复数相等的意义;
3.了解并把握共轭复数,及在复平面内表示复数。
教学重点
复数的概念,复数相等的充要条件。
教学难点
用复平面内的点表示复数m.
教学用具:直尺
课时安排:1课时
教学过程:
一、复习提问:
1.复数的定义。
2.虚数单位。
二、讲授新课
1.复数的实部和虚部:
复数 中的a与b分别叫做复数的实部和虚部。
2.复数相等
假如两个复数 与 的实部与虚部分别相等,就说这两个复数相等。
即: 的充要条件是 且 。
例如: 的充要条件是 且 。
例1: 已知 其中 ,求x与y.
解:根据复数相等的意义,得方程组:
∴
例2:m是什么实数时,复数 ,
(1) 是实数,(2)是虚数,(3)是纯虚数。
解:
(1) ∵ 时,z是实数,
∴ ,或 .
(2) ∵ 时,z是虚数,
∴ ,且
(3) ∵ 且 时,
z是纯虚数。 ∴
3.用复平面(高斯平面)内的点表示复数
复平面的定义
建立了直角坐标系表示复数的平面,叫做复平面。
复数 可用点 来表示。(如图)其中x轴叫实轴,y轴 除去原点的部分叫虚轴,表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。原点只在实轴x上,不在虚轴上。
4.复数的几何意义:
复数集c和复平面所有的点的集合是一一对应的。
5.共轭复数
(1)当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轭复数。(虚部不为零也叫做互为共轭复数)
(2)复数z的共轭复数用 表示。若 ,则: ;
(3)实数a的共轭复数仍是a本身,纯虚数的共轭复数是它的相反数。
(4)复平面内表示两个共轭复数的点z与 关于实轴对称。
三、练习 1,2,3,4.
四、小结:
1.在理解复数的有关概念时应注重:
(1)明确什么是复数的实部与虚部;
(2)弄清实数、虚数、纯虚数分别对实部与虚部的要求;
(3)弄清复平面与复数的几何意义;
(4)两个复数不全是实数就不能比较大小。
2.复数集与复平面上的点注重事项:
(1)复数 中的z,书写时小写,复平面内点z(a,b)中的z,书写时大写。
(2)复平面内的点z的坐标是(a,b),而不是(a,bi),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是i。
(3)表示实数的点都在实轴上,表示纯虚数的点都在虚轴上。
(4)复数集c和复平面内所有的点组成的集合一一对应:
五、作业 1,2,3,4,
六、板书设计:
§8,2复数的有关概念
1定义:例1 3定义:4几何意义:
…… …… …… ……
2定义:例2 5共轭复数:
…… …… …… ……
教学目标
(1)把握复数加法与减法运算法则,能熟练地进行加、减法运算;
(2)理解并把握复数加法与减法的几何意义,会用平行四边形法则和三角形法则解决一些简单的问题;
(3)能初步运用复平面两点间的距离公式解决有关问题;
(4)通过学习-平行四边形法则和三角形法,培养学生的数形结合的数学思想;
(5)通过本节内容的学习,培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).
教学建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节的重点是复数加法法则。难点是复数加减法的几何意义。复数加法法则是教材首先规定的法则,它是复数加减法运算的基础,对于这个规定的合理性,在教学过程中要加以重视。复数加减法的几何意义的难点在于复数加减法转化为向量加减法,以它为根据来解决某些平面图形的问题,学生对这一点不轻易接受。
三、教学建议
(1)在复数的加法与减法中,重点是加法。教材首先规定了复数的加法法则。对于这个规定,应通过下面几个方面,使学生逐步理解这个规定的合理性:①当 时,与实数加法法则一致;②验证实数加法运算律在复数集中仍然成立;③符合向量加法的平行四边形法则。
(2)复数加法的向量运算讲解设 ,画出向量 , 后,提问向量加法的平行四边形法则,并让学生自己画出和向量(即合向量) ,画出向量 后,问与它对应的复数是什么,即求点Z的坐标OR与RZ(证法如教材所示).
(3)向学生介绍复数加法的三角形法则。讲过复数加法可按向量加法的平行四边形法则来进行后,可以指出向量加法还可按三角形法则来进行:如教材中图8-5(2)所示,求 与 的和,可以看作是求 与 的和。这时先画出第一个向量 ,再以 的终点为起点画出第二个向量 ,那么,由第一个向量起点O指向第二个向量终点Z的向量 ,就是这两个向量的和向量。
(4)向学生指出复数加法的三角形法则的好处。向学生介绍一下向量加法的三角形法则是有好处的:例如讲到当 与 在同一直线上时,求它们的和,用三角形法则来解释,可能比“画一个压扁的平行四边形”来解释轻易理解一些;讲复数减法的几何意义时,用三角形法则也较平行四边形法则更为方便。
(5)讲解了教材例2后,应强调 (注重:这里 是起点, 是终点)就是同复数 - 对应的向量。点 , 之间的距离 就是向量 的模,也就是复数 - 的模,即 .
例如,起点对应复数-1、终点对应复数 的那个向量(如图),可用 来表示。因而点 与 ( )点间的距离就是复数 的模,它等于 。
教学设计示例
复数的减法及其几何意义
教学目标
1.理解并把握复数减法法则和它的几何意义。
2.渗透转化,数形结合等数学思想和方法,提高分析、解决问题能力。
3.培养学生良好思维品质(思维的严谨性,深刻性,灵活性等).
教学重点和难点
重点:复数减法法则。
难点:对复数减法几何意义理解和应用。
教学过程设计
(一)引入新课
上节课我们学习了复数加法法则及其几何意义,今天我们研究的课题是复数减法及其几何意义。(板书课题:复数减法及其几何意义)
(二)复数减法
复数减法是加法逆运算,那么复数减法法则为( i)( i)=( ) ( )i,
1.复数减法法则
(1)规定:复数减法是加法逆运算;
(2)法则:( i)( i)=( ) ( )i( , , , ∈R).
把( i)( i)看成( i) (1)( i)如何推导这个法则。
( i)( i)=( i) (1)( i)=( i) ( i)=( ) ( )i.
推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算。
推导:设( i)( i)= i( , ∈R).即复数 i为复数 i减去复数 i的差。由规定,得( i) ( i)= i,依据加法法则,得( ) ( )i= i,依据复数相等定义,得
故( i)( i)=( ) ( )i.这样推导每一步都有合理依据。
我们得到了复数减法法则,两个复数的差仍是复数。是确定的复数。
复数的加(减)法与多项式加(减)法是类似的。就是把复数的实部与实部,虚部与虚部分别相加(减),即( i)±( i)=( ± ) ( ± )i.
(三)复数减法几何意义
我们有了做复数减法的依据——复数减法法则,那么复数减法的几何意义是什么?
设z= i( , ∈R),z1= i( , ∈R),对应向量分别为 , 如图
由于复数减法是加法的逆运算,设z=( ) ( )i,所以zz1=z2,z2 z1=z,由复数加法几何意义,以 为一条对角线, 1为一条边画平行四边形,那么这个平行四边形的另一边 2所表示的向量OZ2就与复数zz1的差( ) ( )i对应,如图。
在这个平行四边形中与zz1差对应的向量是只有向量 2吗?
还有 . 因为OZ2 Z1Z,所以向量 ,也与zz1差对应。向量 是以Z1为起点,Z为终点的向量。
能概括一下复数减法几何意义是:两个复数的差zz1与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应。
(四)应用举例
在直角坐标系中标Z1(2,5),连接OZ1,向量 1与多数z1对应,标点Z2(3,2),Z2关于x轴对称点Z2(3,2),向量 2与复数对应,连接,向量与的差对应(如图).
例2根据复数的几何意义及向量表示,求复平面内两点间的距离公式。
解:设复平面内的任意两点Z1,Z2分别表示复数z1,z2,那么Z1Z2就是复数对应的向量,点之间的距离就是向量的模,即复数z2z1的模。假如用d表示点Z1,Z2之间的距离,那么d=|z2z1|.
例3 在复平面内,满足下列复数形式方程的动点Z的轨迹是什么。
(1)|z1i|=|z 2 i|;
方程左式可以看成|z(1 i)|,是复数Z与复数1 i差的模。
几何意义是是动点Z与定点(1,1)间的距离。方程右式也可以写成|z(2i)|,是复数z与复数2i差的模,也就是动点Z与定点(2,1)间距离。这个方程表示的是到两点( 1,1),(2,1)距离相等的点的轨迹方程,这个动点轨迹是以点( 1,1),(2,1)为端点的线段的垂直平分线。
(2)|z i| |zi|=4;
方程可以看成|z(i)| |zi|=4,表示的是到两个定点(0,1)和(0,1)距离和等于4的动点轨迹。满足方程的动点轨迹是椭圆。
(3)|z 2||z2|=1.
这个方程可以写成|z(2)||z2|=1,所以表示到两个定点(2,0),(2,0)距离差等于1的点的轨迹,这个轨迹是双曲线。是双曲线右支。
由z1z2几何意义,将z1z2取模得到复平面内两点间距离公式d=|z1z2|,由此得到线段垂直平分线,椭圆、双曲线等复数方程。使有些曲线方程形式变得更为简捷。且反映曲线的本质特征。
例4 设动点Z与复数z= i对应,定点P与复数p= i对应。求
(1)复平面内圆的方程;
解:设定点P为圆心,r为半径,如图
由圆的定义,得复平面内圆的方程|zp|=r.
(2)复平面内满足不等式|zp|解:复平面内满足不等式|zp|(五)小结
我们通过推导得到复数减法法则,并进一步得到了复数减法几何意义,应用复数减法几何意义和复平面内两点间距离公式,可以用复数研究解析几何问题,不等式以及最值问题。
(六)布置作业P193习题二十七:2,3,8,9.
探究活动
复数等式的几何意义
复数等式 在复平面上表示以 为圆心,以1为半径的圆。请再举三个复数等式并说明它们在复平面上的几何意义。
分析与解
1. 复数等式 在复平面上表示线段 的中垂线。
2. 复数等式 在复平面上表示一个椭圆。
3. 复数等式 在复平面上表示一条线段。
4. 复数等式 在复平面上表示双曲线的一支。
5. 复数等式 在复平面上表示原点为O、 构成一个矩形。
说明复数与复平面上的点有一一对应的关系,假如我们对复数的代数形式工(几何意义)之间的关系比较熟悉的话,必然会强化对复数知识的把握。
1.了解复数的实部,虚部;
2.掌握复数相等的意义;
3.了解并掌握共轭复数,及在复平面内表示复数.
本文题目:高三数学复习教案:复数核心考点复习
1.(2011年福建)i是虚数单位,若集合S=-1,0,1,则( )
A.i∈S B.i2∈S C.i3∈S D.2i ∈S
2.(201 1年全国)复数z=2-i2+i(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.(2011年江西)若(x-i)i=y+2i,x、y∈R,则复数x+yi=( )
A.-2+i B.2+i
C.1-2i D.1+2i
4.(2011年江苏)设复数z满足i (z+1)=-3+2i(i是虚数单位),则z的实部是________.
5.若将复数1+i1-i表示为a+bi(a、b∈R,i是虚数单位)的形式,则a+b=________.
6.(2011年全国)复数2+i1-2i的共轭复数是 ( )
A.-35i B.35i C.-i D.i
7.(2011年安徽)设i是虚数单位,复数1+ai2-i为纯虚数,则实数a为( )
A.2 B.-2 C.-12 D.12
8.i是虚数单位,复数z=2+3i-3+2i的虚部是( )
A.0 B.-1 C.1 D.2
9.(2011年浙江)把复数z的共轭复数记作 z-,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z) •z-=( )
A.3-i B.3+i C.1+3i D.3
10.如果一个复数的实部和虚部相等,则称这个复数为“等部复数”,若复数z=(1+ai)i为“等部复数”,则实数a的值为________.
11.(2011年浙江) 把复 数z的共轭复数记作z-,i为虚数单位,若z=1+i,则1+z•z-_______.
12.(2011年上海)已知复数z1满足(z1-2)(1+i)=1-i(i为虚数单位),复数z2的 虚部为2,z1•z2是实 数,求z2.
教学目标
(1)掌握复数的有关概念,如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。
(2)正确对复数进行分类,掌握数集之间的从属关系;
(3)理解复数的几何意义,初步掌握复数集C和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。
(4)培养学生数形结合的数学思想,训练学生条理的逻辑思维能力。
教学建议
(一)教材分析
1、知识结构
本节首先介绍了复数的有关概念,然后指出复数相等的充要条件,接着介绍了有关复数的几何表示,最后指出了有关共轭复数的概念。
2、重点、难点分析
(1)正确复数的实部与虚部
对于复数 ,实部是 ,虚部是 .注意在说复数 时,一定有 ,否则,不能说实部是 ,虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。
说明:对于复数的定义,特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念,这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。
(2)正确地对复数进行分类,弄清数集之间的关系
(3)不能乱用复数相等的条件解题。用复数相等的条件要注意:
①化为复数的标准形式
②实部、虚部中的字母为实数,即
(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时,要注意:
①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )确定。这就是说,复数的实质是有序实数对。一些书上就是把实数对( )叫做复数的。
②复数 用复平面内的点Z( )表示。复平面内的点Z的坐标是( ),而不是( ),也就是说,复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1,而不是 .由于 =0+1· ,所以用复平面内的点(0,1)表示 时,这点与原点的距离是1,等于纵轴上的单位长度。这就是说,当我们把纵轴上的点(0,1)标上虚数 时,不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ,或者 就是纵轴的单位长度。
③当 时,对任何 , 是纯虚数,所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数。但当 时, 是实数。所以,纵轴去掉原点后称为虚轴。
由此可见,复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点,而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点。
④复数z=a+bi中的z,书写时小写,复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时大写。要学生注意。
(5)关于共轭复数的概念
设 ,则 ,即 与 的实部相等,虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).
教师可以提一下当 时的特殊情况,即实轴上的点关于实轴本身对称,例如:5和-5也是互为共轭复数。当 时, 与 互为共轭虚数。可见,共轭虚数是共轭复数的特殊情行。
(6)复数能否比较大小
教材最后指出:“两个复数,如果不全是实数,就不能比较它们的大小”,要注意:
①根据两个复数相等地定义,可知在 两式中,只要有一个不成立,那么 .两个复数,如果不全是实数,只有相等与不等关系,而不能比较它们的大小。
②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指:“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’,都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”
(二)教法建议
1.要注意知识的连续性:复数 是二维数,其几何意义是一个点 ,因而注意与平面解析几何的联系。
2.注意数形结合的数形思想:由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系,所以用“形”来解决“数”就成为可能,在本节要注意复数的几何意义的讲解,培养学生数形结合的数学思想。
3.注意分层次的教学:教材中最后对于“两个复数,如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明,如果有学生提出来了,在课堂上不要给全体学生证明,可以在课下给学有余力的学生进行解答。