数学史不仅追溯数学内容、思想和方法的演变、发展过程，而且还探索影响这种过程的各种因素，以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。这次漂亮的小编为您带来了关于数学史的论文参考范文【精选8篇】，希望能够给予您一些参考与帮助。
浅析清末民国对数教育情况
6 至 17 世纪，各学科知识高速发展，尤其是天文、航海及近代力学需要进行大量数学计算。为简化运算，提高运算速度，许多数学家花费了大量心血。 苏格兰数学家纳皮尔等人通过多年的研究，发明了“ 对数”. 这一发明影响深远，它不仅使“ 天文学家寿命倍增”[1]137( 拉普拉斯语) ,也使伽利略“ 利用时间、空间和对数，就可创造一个宇宙”[2]1,更不愧于恩格斯将其列为 17 世纪三大数学发现之一。
一、清末对数教育情况
清末从同治元年( 1862)京师同文馆设立起，至辛亥革命( 1911)推翻清政府止，数学教育近代化经历了近五十年的历程。 在此过程中，前期表现为数学课程普遍设置并进行了教学方法的改革，后期主要是学制的颁布与实施及教育行政机构的设立。 1867 年，京师同文馆增设天算馆。 由于没有颁布相应的教学大纲或课程标准，但根据《 同文馆题名录》所载课程( 1876)及同文馆活字本《 算学课艺》的内容可推断其课程包括代数学、平三角、弧三角等。 据《 同文馆算学课艺》( 1880)卷二中涉及对数题目 1 道。 第 46 题“ 瓜豆共生”,该题与《 九章算术》中的“ 蒲莞共生”,“ 两鼠对穿”同类，但解法却不是应用盈不足术求解，而改用指数与对数求解[4]46. 此足可说明对数已成为京师同文馆的教学内容。
清末，教会学校盛行。 由传教士组织的“ 学校教科书委员会”编译了大量数学教科书，其中《 笔算数学》、《 代数备旨》、《 形学备旨》、《 八线备旨》 、《 代形合参》 等书流传甚广，且编有细草，编者又不止一人。《 八线备旨》四卷，原着美国罗密士，美国传教士潘慎文选译，谢洪赉校录，1894 年出版， 美华书馆铅印本。 该书流传版本较多，以1898 年益智书会石印本为例，其凡例称：原本更有论对数与航海法各一卷都为六卷，但对数已经别译，而航海又嫌过略，不足以备学者观览，姑且从删；原本后对数、八线、弦切对数等以便检查[5]1. 此书共四卷，含平三角、量法、测地、弧三角形，是当时的三角学课本，多次重印，影响极大。
清代末期是中西数学的融合时期，数学的发展表现出两个方向：
一是西方变量数学的传入和研究；二是中国传统数学的继续研究。 这种情形在诸多算学课艺中有所反映， 其内容中不仅有中国传统数学的天元术、勾股术，也有西方传入的几何、平面三角、球面三角、指数、对数等。而对数部分内容教学分别散落于代数与三角教学中。即先从代数部分习得对数的相关概念及其运算法则，后由三角部分再习，主要是用于解三角形，以简化运算。 如《 平面三角法新教科书》所言，凡关于三角形问题之解决，而欲得其便捷之计算，莫若用对数[6]78.
三角学教科书方面，《 新撰平面三角法教科书》[7]33中第三编，对数之性质及用法。 介绍了对数定义，对数之性质，对数之指标之定义，对数之假数之定义，对数表之形，比例差，以对数算直角三形之法。《 平面三角法讲义》[8]86中第六编对数，第七编三角函数真数表及对数表。 虽采用了从左至右横排版，但其中的未知数 x,y,z 用甲、乙、丙代替，字母 A 用呷代替，字母 B 用口字旁加乙字代替，字母 C 用口字旁加丙字代替。 正弦等三角函数名称用正弦、余弦、正切等代替。 如 tanA 用正切呷代替。 全书用手写版，读起来似为天书。 依此看来， 数学符号的现代化进程也不是一蹴而就的， 其间也有反复。
《 三角法教科书》[9]1全书七编。第六编三角形之解法将正弦定理直接改为对数式，没有介绍对数的相关知识。 而在第七编之后专设“ 附录”重点介绍了对数、对数表用法，三角函数对数表用法，三角函数表用法。 附录之后是附表，给出了 1- 2000 之五位对数表，十分飞三角函数对数表，十分飞三角函数表。 代数教科书方面，《 中学校数学教科书---代数之部》该书上卷五编，下卷九篇共十四编。其中第十二编为对数。分两章，第一章为对数，第二章为复利算，年利算。书中原序提到：“ 要目列对数于最后然实有须使早学者故置于级数之后”.“ 学对数表之用法期间甚短若使学者另购对数表殊有未便乃附至 5000 之对数表于卷末而 5000 以上之对数表可依自 500 至 1000之对数表求得之故使学其用法足矣”[10]1.
总之，清末时期的对数教育，主要是先从代数中讲授，继之以三角中讲授。 代数主要讲授对数、常用对数的定义，如何求一个数的对数，对数的运算法则，对数表的用法，用比例法求一个数的对数。 三角教科书在引入对数时主要基于以下理由：一是“ 凡数过大，演算时甚为困难，若用对数，则较为便利，用对数可实现加法代乘法，减法代除法，乘法代自乘，除法代开方”[11]98. 二是“ 以对数解三角，大可省实算之劳，故须省对数之性质”[12]38.“ 解三角之问题，便于计算，莫对数若。 对数之法，学者于代数学虽已知之。 然为应用计，兹再述其大略”[13]78.
二、民国对数教育情况
1912 年，中华民国成立。 同年 9 月颁布《 中学校令》 规定中学校修业年限为四年。 12 月公布《 中学校令施行规则》，规定数学宜授以算术、代数、几何及三角法，女子中学校可减去三角法。 1913 年 3 月《 中学校课程标准》 中规定第一至三学年习代数，第四学年习《平面三角大要》。 1922 年颁布《 学校系统改革案》，规定中学校修业六年，分为初高两级，初级三年，高级三年。 1923 年《 新学制课程标准纲要》中规定，代数中习对数。三角中有边角互求，三角应用大意。《 高级中学第二组必修的三角课程纲要》中里面有对数与对数造表法，航海术等。《 高级中学第二组必修的高中代数课程纲要》中规定要学习对数、对数方程式、对数级数。 此后的 1929 年亦要求初中三年级代数课学习对数，三角中使用对数。 高中仍如 1923 年。 1932 年《 初级中学算学课程标准》中规定初中第三学年代数部分学习对数检查表及应用。将三角部分移至几可，并要求“ 三角之正式教授，宜移至高中，但三角应用极广，初中亦不可不知。故宜就实例入手，讲授三角函数定义，及三直角三角形解法，简易测量，余可从略”[14]231. 1932 年《 高级中学算学课程标准》规定第一学年三角部分习对数，测量及航海方面之应用题。 第二学年代数中习对数，特性和应用。 应用题，造表法略论，表之精确度。 1936 年情形亦如上。
1941 年颁布的《 修正初级中学数学课程标准》 由于要“ 适应抗战建国之需要”,教学时数有所减少，内容略有调整。 初中不再学习三角，代数也不再学习对数。 同年的《 修正高级中学数学课程标准》第一学年三角中学习对数理论及应用、三角函数表及三角函数对数表用法。 第二学年代数中习对数。 同年 9 月，颁布《 六年制中学数学课程标准草案》，规定六年制中学，不分初高中，各科全部课程，均采直径一贯之编配，并选成绩优良学校试点。 教材大纲中第三学年代数要求学习对数之特性及其应用，对数表。 第五学年习解任意三角形，测量及航海方面之应用题。
通过梳理近代以来对数教学情况可以得出以下结论。
一是对数作为数学知识引入中国课堂， 主要是学习外国的结果。从京师大学堂到癸卯学制，主要是传教士和中国数学家的贡献。这一时期，学习、研究的是西方传入的对数知识。 1904 年后，主要是学习日本。日本通过明治维新，国力日盛，并在甲午战争中获得了胜利。 晚清政府和国人意识到了科学教育的重要。 大量的留学生赶赴日本，学成之后回国，或着书立说，或投身教育，使得作为“ 西学”的对数顺利进入中国课堂，并被大量学生学习。
通过梳理对数教育的历史，我们可以看出近代较为注重对数的应用，如解三角形、航海等方面均利用对数进行求解，而现代教科书则难觅这些。当然时代在进步，科学在发展，有些知识和方法在不断地更新，我们现在不可能舍易取难，用对数方法去解三角形，但翻阅教科书中对数部分内容，给人的直观感觉就是应用。学以致用，目的性强，容易引发学生的学习兴趣，这点是值得借鉴的。
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中国古代及近现代数学史探究
中华民族是一个具有悠久历史和灿烂文化的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界数学发展史中也同样具有许多耀眼的光环。研究中国的数学发展历程有着重要的现实意义。
1 中国古代数学的发展史。
1.1起源与早期发展。数学是研究数和形的科学，是中国古代科学中一门重要的学科。中国数学发展的萌芽期可以追溯到先秦时期，最早的记数法在殷墟出土的甲骨文卜辞中可以找到记数的文字。如独立的记数符号一到十，百、千、万，最大的数字为三万，还有十进制的记数法。
在春秋时期出现中国最古老的计算工具---算筹，使用算筹进行计算称为筹算，中国古代数学的最大特点就是建立在筹算基础之上。古代的算筹多为竹子制成的同样长短和粗细的小棍子，用算筹记数有纵、横两种方式，个位用纵式，十位用横式，以此类推，并以空位表示零。这与西方及阿拉伯数学是明显不同的。
在几何学方面，在《史记·夏本记》中记录到夏禹治水时已使用了规、矩、准、绳等作图和测量工具，勾股定理中的“勾三股四弦五”已被发现。
1.2中国数学体系的形成与奠基时期。这一时期包括秦汉、魏晋、南北朝，共400年间的数学发展历史。中国古代的数学体系形成在秦汉时期，随着数学知识的不断系统化、理论化，相应的数学专书也陆续出现，如西汉初的《算数书》、西汉末年的《周髀算经》、东汉初年的《九章算术》以及南北朝时期的《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等一系列算学着作。
《周髀算经》编纂于西汉末年，提出勾股定理的特例及普遍形式以及测太阳高、远的陈子测日法；《九章算术》成书于东汉初年，以问题形式编写，分属于方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章，特点在于注重理论联系实际，形成了以筹算为中心的数学体系。
中国数学在魏晋时期有了较大的发展，其中赵爽和刘徽的工作被认为是中国古代数学理论体系的开端。赵爽证明了数学定理和公式，详尽注释了《周髀算经》，其中一段530余字的“勾股圆方图”注文是数学史上极有价值的文献。刘徽的杰作《九章算术注》和《海岛算经》，是我国最宝贵的数学遗产。
在南北朝时期数学的发展依然蓬勃，出现了《孙子算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》等算学着作。最具代表性的着作是祖冲之、祖父子撰写的《缀术》，圆周率精确到小数点后六位，推导出球体体积的正确公式，发展了二次与三次方程的解法。
1.3中国古代数学发展的盛衰时期。宋、元两代是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。出现了一批着名的数学家和数学着作，其中最具代表性的数学家是秦九韶和杨辉。秦九韶在其着作的《数学九章》中创造了“大衍求1术”（整数论中的一次同余式求解法），被称为“中国剩余定理”，在近代数学和现代电子计算设计中起到重要的作用。他所论的“正负开方术”（数学高次方程根法），被称为“秦九韶程序”。现在世界各国从小学、中学、大学的数学课程，几乎都接触到他的定理、定律、解题原则。杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家，他在1261年所着的《详解九章算法》一书中，给出了二项式系数在三角形中的一种几何排列，这个三角形数表称为杨辉三角。“杨辉三角”在西方又称为“帕斯卡三角形”，但杨辉比帕斯卡早400多年发现。
随后从十四世纪中叶明王朝建立到明末的1582年，数学除了珠算外出现全面衰弱的局面。明代最大的成就是珠算的普及，出现了许多珠算读本，珠算理论已成系统，标志着从筹算到珠算转变的完成。在现代计算机出现之前，珠算盘是世界上简便而有效的计算工具。但由于珠算流行，筹算几乎绝迹，建立在筹算基础上的古代数学也逐渐失传，数学出现长期停滞。
2 中国近现代数学的发展史。
中国近现代数学发展时期是指从20世纪初至今的一段时间，开始于清末民初的大批留学生的回国后，各地大学的数学教育有了明显的起色，很多回国人员后成为着名的数学家和数学教育家，在世界都具有重要的影响，为中国近现代数学发展做出了重要贡献，这些着名的数学家及其贡献主要有：
2.1陈景润及其代表作。陈景润是世界着名解析数论学家之一。1966年，陈景润攻克了世界着名数学难题“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，在哥德巴赫猜想的研究上居世界领先地位，距摘取这颗数论皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遥，于1978年和1982年两次收到国际数学家大会的邀请，在其他数论问题的成就在世界领域也是遥遥领先的。
2.2华罗庚及其贡献。华罗庚是近代世界着名的中国数学家，对数学的贡献是多方面的。在数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论、多个复变函数论、偏微分方程及高维数值积分等领域都做出了卓越的贡献。他解决了高斯完整三角和的估计，推进华林问题、塔里问题的结果，在圆法与三角和估计法方面的结果长期居世界领先地位，着作有《堆垒素数论》、《数论导引》、《典型域上的多元复变量函数论》及合着《数论在近似分析中的应用》。他在普及应用数学方法、培养青年数学家等上都有特殊贡献。
2.3苏步青及其成就。苏步青是中国科学院院士，国内外享有成名的数学家。主要从事微分几何学和计算几何学等方面的研究。他在仿射微分几何学和射影微分几何学研究方面取得出色成果，在一般空间微分几何学、高维空间共轭理论、几何外型设计、计算机辅助几何设计等方面取得突出成就，对培养中国早期的数学人才曾起了巨大的推进作用。
2.4吴文俊及其贡献。吴文俊是数学界的战略科学家，现任中国科学院院士，第三世界科学院院士。曾获得首届国家自然科学一等奖(1956)、中国科学院自然科学一等奖(1979)、第三世界科学院数学奖(1990)、陈嘉庚数理科学奖(1993)、首届香港求是科技基金会杰出科学家奖(1994)、首届国家最高科技奖(2000)、第三届邵逸夫数学奖(2006)。他在拓扑学、自动推理、机器证明、代数几何、中国数学史、对策论等研究领域均有杰出的贡献，他的“吴方法”在国际机器证明领域产生巨大的影响，有广泛重要的应用价值。
3 研究中国数学发展史的重要意义。
与自然科学相比，数学是一门积累性科学，国内外许多着名的数学大师都对数学史都有着深远的研究。研究数学发展史可以为我们提供经验教训和历史借鉴，使我们的科学研究方向少走弯路或错路。从数学发展史中，我们要明白数学是一种文化，是形成现代文化的主要力量，是文化极其重要的因素。数学的概念来源于经验，与自然科学的生活世纪密不可分，在经过数学家严格的加工与推理后形成数学这门科学。研究数学的发展历史，弄清一个概念的来龙去脉，一个理论的兴旺和衰落，影响一种重要思想的产生的历史因素，有利于了解数学的现状，指导数学的未来，更好地接受以及学习数学，从历史的发展中获得借鉴和汲取教益，促进现实的科学研究，从而使数学与我们的生活更加贴切。
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浅谈初中数学教学中学生创新能力培养
前言
在新时代的背景下，各种高新科学技术和社会经济文化水平迅猛发展。在人们的物质需求和文化需求逐渐增加的同时，社会对于人的知识储备和整体素质能力也有了更高的要求。社会要求人应该具备高知识水平和良好的创新能力。而知识和个人综合能力包括创新能力的提高，在很大程度上都要依赖于教育。作为九年制义务教育的最后阶段，初中教育在其中起着很大的作用。如何提高培养初中数学教学中学生的创新能力，这是值得研究的问题。
一、初中数学教学现状和创新能力作用
随着时代的发展，信息时代的来临，机器化和工业化固然重要，然而如何更好地运用好机器、工业甚至资源和资本，都有赖于人的创新能力。人在社会发展中占据主导地位，因为人的知识储备、具备的综合能力和创新能力可以更好的适应当代社会的发展，从而更好的推动社会的发展。单就发明专利数量而言，中国虽然科研人员的人数众多，然而专利数却远远落后于其他国家，且质量水平较低。新华社2003年的一项调查报告显示，我国青少年参与科学探究的比率低于百分之三十，对科学创新也不知道如何实施，这样的情况是很严峻的，这显示了我们国家在对青少年的基础教育培养中没有重视对于学生的创新能力培养。因此，提高青少年的创新能力对我国国情而言，刻不容缓。
信息化飞速发展的社会需要大量的创新型人才，而我国传统教育却往往重视对学生理论知识的灌输而不够重视实践，重视教师的教程教案而不够重视学生的自主学习，而系统的学习和学生的学习创新能力却极度缺乏。“应试教育”很大程度上阻碍了学生的自我发展和创新能力培养。而初中教学在对于青少年整个的接受教育生涯中起着基础性的作用
而研究表明，在十几岁的年纪，青少年的创新能力是逐渐提高的，而在接受教育的条件下，对于提高其创新能力的帮助也是显著的。创造力是可以培养的，并且初中生在创新创造这方面比起成年人有着更大的主动性和兴趣，因此，通过初中课堂教学尤其是数学教学，有利于培养起学生对于科学学习的兴趣以及培养学生的创新能力。学生在教师的指导之下进行有益的自我探索式学习，积累科学知识，不把课本和教师当成绝对的权威，而是主动思考科学知识的由来，对知识有一个深入的探究，寻找新思路、新方法。创新能力的本质是在教学活动中学生的创新思维品质，脱离基础教学，空谈创新能力毫无意义。
数学本身具有抽象性和严密的逻辑性，学习数学有利于学生对于现实世界的把握和探索，在学习的过程中形成自己的思维逻辑，拥有自己思考形成的一套方法和准则。在教师教学的过程中，从实际出发，脱离那些被固化的解题模板，从本源出发，发散思维，通过思考、实践、交流探索来进行有效的学习探索，因此对于培养学生的思维能力和创新能力是至关重要的。
创新能力的本质是在教学活动中学生的创新思维品质，脱离基础教学，空谈创新能力毫无意义。初中数学的基础教学是创新能力培养的重要途径，培养学生的创新能力也是初中数学教学的基础任务。
二、提高学生创新能力的方法对策
目前在初中数学教学过程中，确实存在许多问题，阻碍了学生的创新能力的培养和发展。比如说“应试教育”的功利性较强，一方面会导致教师在教授知识的过程中会加强理论知识的灌输和解题技巧的培养，另一方面学生也会更注重对于试卷上题目的解答能力和卷面分数高低，而忽略了数学思维的培养
另外，教学内容的简单化和教学方式的单一化也使得对于探索式学习的进行遇到阻碍。课堂教育中灌入式的教学方式和大量习题的运作量，以及对于作业和考试的重视远远大于对知识本身的渴求，学生不是学习的主体，反而是被动接受。这样的现状需要改变，除了要提高教师的专业素质，还要：
1.加强对教师专业素质的培养提高，需要教师树立好正确的教育理念，正确意识到自身社会责任和保持良好的道德。除了单纯的技巧教学，不照本宣科而是以创新的意识、创新的方式，多角度发散思维教学，培养学生的创新能力。
2.教材对于课堂教学起的是基础性作用。要运用合理科学的教材，符合时代和社会的发展。另外是教师和学生对于教材的运用，也要有科学的方式，将实践和课本理论有效结合，引导学生主动学习，提高创新能力。
3.创新意识不仅仅只是“意识”，不是天马行空的想象，而是合乎情理的新发现，合乎逻辑的思维发散。教师和学生都要树立起对创新能力的正确认识。教师要做的是引导，学生要做的是思考，敢于质疑权威、批判传统，培养起科学的意识，主动去发现问题，分析、解决问题。
4.实现教学的创新模式，发展新型平等的师生关系，营造课堂和课下的创新氛围，教师树立新的教学观、学生树立新的学习观念，发展创新素质，实现教学组织的创新、教学内容的创新、教学方式的创新，从实际出发，结合科学合理的创新模式，使学生真正学会学习学会思考，提高创新能力。
浅析函数概念的提出与发展演变
函数在当今社会应用广泛，在数学，计算机科学，金融，IT等领域发挥着举足轻重的作用；在数学发展的历史上，函数这一概念从提出到如今渗透到数学的各个层面，都在数学学科中有着不可撼动的地位。学好函数、了解函数的发展历史不仅能提高我们对函数概念的认知度，还能有助于我们更好的运用函数解决实际问题。
1 函数产生的社会背景
函数 (function) 这一名称出自清朝数学家李善兰的着作《代数学》，书中所写“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”。而在 16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴给人们的思想带来了觉醒，新兴的资本主义工业的繁荣和日益普遍的工业生产，促使技术科学和数学急速发展，这一时期的许多重大事件向数学提出了新的课题；哥白尼提出地动说，促使人们思考：行星运动的轨迹是什么、原理是什么。牛顿通过落下的苹果发现万有引力，又自然使人想到在地球表面抛射物体的轨迹遵循什么原理等等。函数就是在这样的一个思维爆炸的时代下渐渐被数学家们所认知和提出。
早在函数概念尚未明确之前，数学家已经接触过不少函数，并对他们进行了分析研究。如牛顿在 1669 年的《分析书》中给出了正弦和余弦函数的无穷级数表示；纳皮尔在 1619 年阐明的对数原理为后世对数函数的发展提供有力依据。1637年法国数学家笛卡尔创立直角坐标系，使得解析几何得以创力，为函数的提出和表述提供了更加直观的方式；直角坐标系可以很形象的表述两个变量之间 的变化关系，但他还未意识到需要提炼一般的函数概念来阐述变量的关系。17 世纪牛顿莱布尼兹提出微积分的概念，使得函数一般理论日趋完善，函数的一般概念表述呼之欲出。在 1673 年莱布尼兹首次使用函数一词来表示“幂”，而牛顿在微积分的研究中也使用了“流量”一词来表示变量之间的关系。函数就是在数学家们不同分支但相同意义的研究下顺应而生。
2 函数概念的提出和初步发展
1718 年，瑞士的数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli)把函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常量以任何一种方式组成的一种量”。伯努利把变量 x 和常量按任何公式构成的量叫做 x 的函数，表示为 yx.值得一提的是伯努利家族是一个科学世家，3 代人中产生了 8 位科学家，后裔中有不少人被人们追溯过，这是非常罕见的。约翰·伯努利的函数定义在为后世的函数发展提供了便利。
1755 年，瑞士数学家欧拉(Leonhard Euler)把函数定义为“如果某些变量，以某一些方式依赖于另一些变量；即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随之变化，就把前面的这些变量称为后面这些变量的函数”。欧拉的定义与现代函数的定义很接近。在函数的表达上，欧拉不拘于用数学式子来表示函数，破除了伯努利必须用公式表达函数的局限性，他认为函数不一定要用公式来表示，他曾把画在坐标系上的曲线也叫做函数，他认为函数是“函数是随意画出的一条曲线”
3 十九世纪的函数-对应关系
19 世纪是数学史上创造精神和严格精神高度发扬的时代，几何，代数，分析等各种分支犹如雨后春笋般竟相发展；函数进入 19 世纪后，概念理论得到了极大的拓展和完善。
1822 年傅立叶发现某些函数可以表示成三角级数，进而提出任何函数都可以展开为三角级数；提出着名的傅立叶级数。使得函数的概念得以改进，把世人对函数的认识推到了一个新的层次。
1823 年，法国数学家柯西从定义变量开始给出了函数的定义，指出无穷级数虽然是定义函数的一种有效方法，但定义函数不是一定要有解析表达式，他提出了“自变量”的概念；他给出的定义是“在某些变数间存在一定的关系，当一经给定其中某一变量的值，其他变数的值可随着而确定时，则将最初的变数叫自变量，其他各变数叫做函数。”这一定义与现在中学课本中的函数定义基本相同。
1837 年，德国数学家狄利克雷指出：对于在某区间上的每一个确定的值，都有一个或多个确定的值，那么 y 就叫做 x的函数。狄利克雷的函数定义避免了以往以往函数定义中依赖关系来定义的弊端，简明精确，为大多数数学家所接受。
4 现代函数-集合论的函数
自从德国数学家康托尔提出的集合论被世人广泛接受后，用集合的对应关系来表示函数概念渐渐占据了数学家们的思维。通过集合的概念把函数的对应关系、定义域以及值域进一步具体化。1914 年豪斯道夫在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数；库拉托夫斯基在 1921 年又用集合论定义了“序偶”。这样就使得豪斯道夫的定义更加严谨。
1930 年，新的现代函数定义为：若对集合 M 的任意元素X 总有集合 N 确定的元素 Y 与之对应，则称在集合 M 上定义一个函数，记为 Y=f(x)。元素 x 称为自变量，元素 Y 称为因变量。
5 函数发展对当代社会的意义
函数的发展，对当代社会的生产生活产生了重大的影响；函数概念也随着时代的不断进步而分成了网状的分支，从简单的一次函数到后来复杂的五次函数方程的求解；从简单的反函数，三角函数到后来的复变函数，实变函数。这些函数的常用性质，以及函数的求解都随着人们对函数概念理论的不断深入而发现，进而无数人对其更加深入了研究探讨，函数思想理论也深入渗透到社会各个领域。从教师教学中的函数思想到解决实际问题的数学建模；从计算机编程领域的 C 函数到调控市场经济的概率理论研究，函数无时无刻不在发挥其强大的作用。了解函数概念发展的过程，就是不断挖掘理解函数内涵的过程，可以使人们对这个客观的世界更加深入的了解，有助于人们丰富视野，并不断的加以发展，适应不断变化的社会需要。
参 考 文 献
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试谈开展农村小学数学活动课的策略
一、现状
自从国家教育部颁布了《九年义务教育初级中学课程计划》(试行)活动课正式纳入课程设置之中后，一些学校也开始了数学活动课的尝试。但在我们农村小学，许多教师对数学活动课的概念尚模糊，认为数学活动课就是数学课外活动，而且由于条件限制，许多教师在教学时还是为考试而教，学生为考试而学，不注重学生数学素质与能力的培养，数学活动课的开展更无从谈起。这些都说明，在农村小学开展数学活动课是迫切需要的，对提高农村小学数学教学质量起到积极的推动作用。
二、对策
1.改变以往单一的教学理念，提高认识，明确小学数学活动课在小学数学教育中的地位和作用
只开设数学学科是不能完全实现小学数学教学目标的，换句话说开设活动课能更好地实现小学数学教学目标。对于数学活动课程的开设，有的老师担心，学生的负担本来就很重， 再加一门活动课，不是更重了吗？这种担心是不必要的，因为设立数学活动课不是增加一门新的学科课程，而是将数学学习中难以有效进行的一些内容通过活动课来完成。实践证明，以主题形式设计的学习内容，和以小组、个人等形式为主的教学组织，有利于发挥学生的学习积极性和自主性。因此，它不仅不会加重学生的学习负担反而会有效地促进学生综合能力的提高，对提高学生的学习质量产生积极的影响。从笔者曾参加过的数学活动课来看，学生对数学活动课不仅没有负担感，而且表现出很大的兴趣和积极主动性，他们动手操作，动脑思考，交流信息，观察分析，归纳概括，联想创新，能轻松地达到教学目标。同时也是小学活动课的重要组成部分，对于全面培养提高学生素质，实现义务教育的培养目标是不可缺少的重要活动之一。
2.根据农村地方不同特点，探索行之有效、丰富多彩的开展数学活动课的方式，让学生充分发挥其主动性、积极性和创造性
虽然已经认识到小学数学活动课的重要意义，但要设计好小学数学活动课，使其发挥更大的作用，还必须选择好活动内容及形式，做到精选内容、形式恰当。而农村小学数学活动课的形式也应根据设计活动课的目标、主题、特点不同而选择适当的方法，笔者认为常见的活动课有以下几种形式：
2.1探究型活动课：对日常生活中蕴涵的数与形的现象，通过老师或学生提出问题，学生自主活动，探索其数量关系或空间形式的规律，建立数学模型，运用数学方法，解释或解决这一现象。
2.2演讲型活动课：结合有关数学知识的教学，通过故事演讲活动的形式，让学生更多地了解数学历史、数学知识，增长知识，激发学生热情。
2.3才艺展示型活动课：这是以文艺和游戏为主要形式的数学活动课。通过文艺演出和游戏活动，使学生在玩中乐、乐中学，可以有效地达到教学目的。
2.4动手操作型活动课：数学实践活动它在形式上绝不是单纯的户外活动，而是融合于各个领域的学习内容之中，是整个教学过程的一部分。它可以表现为课堂内的经历探索；也可以表现为课内外相结合；还可以是完全置身于社会这个大环境下的调查活动。如学生通过做一做、折一折、拼一拼、量一量、剪一剪等具体操作活动，在做中学、学中做，教、学、做合一，既能巩固所学知识，又能培养学生的操作能力和运用所学知识解决实际问题的能力，培养了学生的创新意识。
2.5总结汇报型活动课：即指导学生撰写数学学习小论文进行汇报的活动课。撰写的小论文包括学习数学课程的心得体会、对数学概念的理解、数学定理的应用、解题方法等。然后让学生在班上进行交流汇报。它能加深学生对数学课程的理解，发挥他们的才能，增强创新意识和开拓精神。
3.在各环节加强开展数学活动课的学习、探索、研究和管理，确保数学活动课的教学质量。有了对数学活动课的正确认识，明确了开展数学活动课的常见内容和方式，还应在开展数学活动课的各个环节中加强探索、管理，使数学活动课的开展收到良好的效果，必须做好以下几方面工作：
3.1制定好活动课的教学计划，并认真贯彻执行。
每学期初，教研组和老师应在认真研究教学计划和教材内容的基础上，结合学生实际， 内容、时间和形式。在开展中要认真贯彻执行教学计划，避免随意性及应付思想等。
3.2认真进行课前准备。
准备工作可由教师和学生分头进行。教师应根据活动课计划写出活动课教案，根据活动课内容，结合教材，认真分析学生现有的实际水平，选择恰当的方法，设计活动程序，还要考虑到活动中遇到的问题，准备好对策。同时教师也应让学生明确该准备工作，活动课的成功与否，很大程度取决于活动课前的准备工作，因此，教师一定要做好周密细致的安排。
3.3精心组织教学过程。
与学科教学过程一样，活动课教学过程中，也以学生为主体，教师发挥主导作用。但其中的“主体”和“主导”作用体现在以学生的“活动”为中心的教师的“导演”中。这就要求教师有较高的组织才能和高超的“导”的艺术，对教师的素质、责任心等提出了很高的要求。
3.4及时总结，并严格进行评价考核。
每次活动后，教师应及时对学生活动情况进行评析，评析应准确、精练、有趣，让学生在充满收获的喜悦中结束活动，并作好记录，写出活动小结。一个学期结束时，要对每个学生上活动课的情况进行考核，还要评定成绩，记入***，使每位同学认识到它的重要性。
总之，在农村小学开设并上好数学活动课，是符合素质教育要求的。它能给学生创造开阔的空间，打破课堂教学的框框，利用丰富多彩的形式，引导学生向实践、生活、社会学习知识，既增加知识，开阔眼界，提高鉴别和欣赏能力。同时，它对提高教师的业务水平、提高教学质量，都有很大的促进作用。
浅析数学史的教育价值与具体应用
随着数学、 科学技术和社会的发展， 人们对数学有了越来越深刻的认识， 对数学和数学教育、 数学史与数学教育的关系有了越来越深刻的认识， 对数学教育取向的数学史研究及其教育价值的发挥也越来越重视。 本文就数学教育取向的数学史的学科性质， 它与数学教育的密切联系，怎样通过数学史学习加强数学教育、 发挥数学史的教育价值， 以及融数学史与数学教学中存在的困难和问题做初步探讨。
1 数学史的学科性质
数学史是研究数学发展历史的学科， 是数学的一个分支， 也是科学史下属的一个重要分支。数学史与数学研究的各个分支、 社会史、 文化史的各个方面都有着密切的联系。数学史研究数学原理、 概念、 思想和方法等的起源与发展， 及其与社会、 政治、 经济和一般文化、 教育的联系， 它不仅追溯数学原理、 概念、 思想和方法的演变、发展过程， 而且还探索影响这种过程的各种因素， 以及历史上数学科学的发展对人类文明所带来的影响。 数学史的研究对象不仅包括具体的数学内容及其发展的历史分期， 而且涉及历史学、哲学、 文化学、 教育学、 宗教学等社会科学与人文科学内容。 因此， 数学史是一门综合性、 交叉性学科。
本文所指的数学史， 不是那种为历史而研究历史的纯数学史， 而是为教育而研究历史的数学史， 也就是数学教育取向的数学史， 其关注点侧重于以对数学发展作出贡献的着名历史人物的可歌可泣的、 丰满鲜活的数学创造事迹为载体， 追溯数学原理、 概念、 思想和方法的演变、 发展过程， 探索影响这种过程的各种因素， 以及历史上数学发展对人类文明所带来的影响。
2 数学史的教育价值
数学是历史最悠久的人类知识领域之一。 从远古屈指计数到现代高速电子计算机的发明， 从量地测天到抽象严密的公理化体系， 在五千余年的数学历史长河中， 重大数学思想的诞生与发展确实构成了科学史上最富有理性魅力的题材。 与自然科学相比， 数学更是积累性科学， 其概念和方法更具有延续性。 数学已经广泛地影响着人类的生活和思想， 是形成现代文化的主要方面。 因而， 数学史是从一个侧面反映的人类文化史， 又是人类文明史的最重要的组成部分。 许多历史学家也通过数学这面镜子， 了解古代其他主要文化的特征与价值取向。
数学科学作为一种文化， 不仅是整个人类文化的重要组成部分， 而且始终是推进人类文明的重要力量。 对于每一个希望了解整个人类文明史的人来说， 数学史是必读的篇章。 可以说不了解数学史就不可能全面了解整个数学科学。 数学史在整个人类文明史上的这种特殊地位， 是由数学作为一种文化的特点决定的。 数学史无论对于深刻认识作为科学的数学本身， 还是全面了解整个人类文明的发展都具有重要意义。
数学史在数学教育中的重要作用早在 19 世纪就已经被一些西方数学家所认识。 法国着名数学家亨利·庞加莱 (J. H. Poincare,1854~1912)指出： “如果我们想要预见数学的未来， 适当的途径是研究这门科学的历史和现状。”[1]数学史家卡约里(Cajori,1859~1930)说： “数学史的重要性表现在数学为人类文明所作出的贡献。
人类进步与科学思想的发展密切相关， 数学与物理的研究乃是智力进步的可靠记录。”[1]
19 世纪末以后， 欧美众多着名数学家、 数学史家和数学教育家都提倡在数学教学中直接或间接地利用数学史， 数学史的教育价值受到数学家们的大力提倡。[2]
在 1904 年德国海德堡召开的第三届国际数学家大会上， 美国着名数学史家、 数学教育家史密斯(D. E. Smite,1860~1944)与其他国家的几个数学家、 数学史家和数学教育家在提出的一项决议中指出： “数学史在今天已成为一门具有无可否认的重要性的学科， 无论从数学的角度还是从教学的角度来看， 其作用变得更为明显， 因此， 在公众教育中给与其恰当的位置乃是不可或缺的事。” 该项决议希望在大学里开设精密科学史课，包括数学与天文学史、 物理与化学史、 自然科学史、 医学史四部分。 该项决议还建议在中学课程中介绍精密科学的历史。[3]
到了 20 世纪 70 年代， 数学史对数学教育的重要意义已成为西方数学教育家们的共识， 数学史与数学教育之间关系的理论研究也引起广泛关注并提到了国际数学教育的议程中。 1972 年， 在第二届国际数学教育大会上， 成立了数学史与数学教学关系国际研究小组 （简称HPM,1976 年开始隶属于国际数学教育委员会）， 这标志着数学史与数学教育关系作为一个学术研究领域的出现。[3]
在我国， 数学史的教育价值也早已被一些学者所认识。 近年来， 论述数学史教育价值的文章不断增多， 在数学教学中融入数学史的呼声越来越强烈， 特别是《普通高中数学课程标准（实验）》的颁行把数学史融入数学教学的行动从幕后推到了前台。 2005 年 5 月在西安召开了我国第一届数学史与数学教育会议， 这表明， 数学史与数学教育这一领域已经得到我国数学史与数学教育界的普遍关注。
总之， 数学教育取向的数学史的教育价值早已被人们所认识， 关于数学史与数学教育的关系的研究正在不断深入， 融数学史于数学教学已经从理念逐步变为行动， 也成为通过数学教育对学生进行德、 智、 美育的切入点。 通过数学教育取向的数学史的学习， 进一步认识数学史与数学教育的内在密切联系， 在数学教育教学过程中发挥数学史的教育价值， 优化学习者的知识结构， 提高人才培养质量。
概括而言， 数学教育取向的数学史的教育价值主要在于以下几个方面：
2.1 给数学教学积累丰富的教育性资料
数学具有严谨的逻辑性、 高度的抽象性、 应用的广泛性、 深刻的文化性、 知识的延续性、 独特的优美性等特点。 作为数学教师， 只有通过数学史积累丰富的教育性资料， 才能获取相关知识点（如，数学概念、公式、定理和方法等）的教学启示， 为丰富和活跃数学教育教学活动打好基础。
数学史对于数学教师而言不仅是教学中必需的知识， 而且也是形成数学思想和方法以及培养专业精神和科学探索精神的源泉。
荷兰着名数学史家迪克斯特休 (E. Jan Dijk-sterhuis,1892~1965) 强调数学史在师范教育中的重要作用时指出： “中学数学教师的主要任务是向下一代传授数学知识， 并且， 如果可能的话， 激起他们对于人类千百年以来在该领域中所取得成就的热爱与崇敬。 对于这些师范生来说， 关于这门学科历史演进的知识乃是一种财富， 这种财富不仅是宝贵的， 而且是不可或缺的， 它---自然还需要掌握现代数学知识---将使他们能够令人满意地完成自己的职责。 他们经常需要去关心过去数学发展的各个阶段， 他们必须把这些阶段讲得清晰一些， 对孩子有吸引力一些。 孩子们必须通过这种方式得到思维的训练。”[3]
2.2 为数学课程和教学设计提供丰富的史料
近几年来， 在国内外数学教育改革中， 强调数学的文化价值， 使数学史知识得到广泛的关注。
数学史已成为数学课程和数学教学设计的丰富史料， 已成为数学教学内容的有机组成部分。
《义务教育数学课程标准 （2011 年版）》 指出“数学文化作为教材的组成部分 ， 应该渗透在整套教材中。 为此， 教材可以适时地介绍有关背景知识， 包括数学在自然与社会中的应用， 以及数学发展史的有关资料， 帮助学生了解在人类文明发展中数学的作用， 激发学习数学的兴趣， 感受数学家治学的严谨， 欣赏数学的优美。” 《普通高中数学课程标准（实验）》把 “数学史选讲” 作为选修课加以开设， 并在理念部分指出： “数学是人类文化的重要组成部分。 数学课程应适当反映数学的历史、 应用和发展趋势， 数学对推动社会发展的作用， 数学的社会需求， 社会发展对数学发展的推动作用， 数学科学的思想体系， 数学的美学价值， 数学家的创新精神。 数学课程应帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用， 逐步形成正确的数学观。” 在选修课系列 3-1 “数学史选讲” 中列出了可供选择的 11 个专题， 并提出了具体要求： “通过生动、 丰富的事例， 了解数学发展过程中若干重要事件、 重要人物与重要成果， 初步了解数学产生与发展的过程， 体会数学对人类文明发展的作用， 提高学习数学的兴趣，加深对数学的理解， 感受数学家的严谨态度和锲而不舍的探索精神。”“完成一个学习总结报告。 对数学发展的历史轨迹、 自己感兴趣的历史事件与人物， 写出自己的研究报告。”“本专题由若干个选题组成， 内容应反映数学发展的不同时代的特点， 要讲史实， 更重要的是通过史实介绍数学的思想方法， 选题的个数以不少于 6 个为宜。” 这将会大力推动数学史和数学教学的融合， 进一步发挥数学史的教育价值。[4][5]
2.3 深化对数学原理、 概念、 思想和方法的理解
数学有产生发展的特定历史过程。 只有懂得数学发展史， 才能深刻理解数学。 在数学教学中融入数学史内容， 让数学教学鲜活起来， 有助于学生对数学概念、 方法和原理的理解与认识的深化， 帮助学生理解数学及其价值， 形成正确的数学观。 数学家研究数学的时候带着激情在思考，一旦研究有了确切结果， 呈现在我们面前的则是冰冷的美丽学术形式。 因此， 我们要通过数学史的学习， 了解当时的数学家为什么和如何研究数学。 一个数学原理、 一个具体的数学概念， 一个有效的数学思想方法究竟是怎样产生的？ 一个数学符号是怎样演变形成的？ 为什么古希腊人要用公理化方法展开数学， 从而形成演绎几何体系？
他们所处的时代背景如何？ 中国古代数学的特点和古希腊数学的特征有何不同？ 等等。 弄清这些问题， 对学生理解数学很有好处。 在这方面， 值得研读的数学名着之一是美国着名数学史家 M·克莱因（Kline Morris,1908~1992)1972 年出版的着作《古今数学思想》(1979 年有中译本）等。
丹麦数学家、 数学史家邹腾 (H. G. Zeuthen,1839~1920) 早在 1876 年的一篇数学史论文中就强调数学专业的学生学习数学史的必要性， 他指出： “学生不仅获得了一种历史感， 而且， 通过从新的角度看数学学科， 他们将对数学产生更加敏锐的理解力和鉴赏力。”[3]对于一个数学教师而言， 如果没有数学史方面的知识积累和修养， 很难把数学课上好。
2.4 激发学习兴趣和爱国热情
融数学史于数学教学， 使学生了解数学与人类文明发展的密切关系， 可以激发学生的学习兴趣， 活跃课堂气氛， 提高教学效果。 数学史可以使学生了解数学的发展， 了解中国古代数学的辉煌成就， 了解中国近代数学落后的原因和中国现代数学研究发展的现状， 充分介绍中国现代数学家的贡献， 以激发学生的爱国热情， 培养胸怀宽广的奉献精神， 振兴民族科学。华罗庚 (1910~1985)、 陈景润 (1933 ~1996)、 陈省身 (1911~2004)等着名数学家的光辉事迹， 中学物理教师陆家羲(1935~1983) 在数学研究上取得的成就和献身精神等等， 不仅是进行数学专业教育的典型材料，而且是进行思想教育、 启发人格成长的良好材料。实现数学教育的德育功能， 数学教育取向的数学史学习是不可缺少的内容。数学是全人类的共同财富。 在科学发现上，各个国家和各个民族应该彼此借鉴， 互相学习，共同提高。 要把外国的一切优秀文化， 包括数学成就都充分尊重， 吸收过来。 “洋为中用”， 为祖国建设服务， 实际上就是爱国主义教育。
人类的数学文明最早起源于巴比仑， 其次是埃及。 巴比仑的泥板、 埃及的纸草书上的数学记载都在公元前 1000 年以上。 即便是后来的古希腊的数学文明也远早于中国。 中国古代数学虽然出现得比地中海文明要迟许多， 但是具有自己的特点， 同样为人类作出了重要贡献。 我国着名数学家吴文俊院士曾经十分深刻地指出， 中国古代数学的优秀传统是“算法数学”。中国算学虽然缺乏古希腊式的公理化演绎体系， 却十分准确地用算法的形式表达出来。20 世纪 70 年代， 吴文俊从研究中国古算受到启发， 并结合现代计算机技术进行思考， 发展出了世界领先的“数学定理机器证明”方法（世称“吴方法”）。 这样的古为今用， 才是真正的爱国主义， 才能真正激发起民族自豪感。
2.5 强化应用和创新意识
提高学生对数学的宏观认识， 数学教师的任务不仅要把书本上的内容讲清楚， 还要对数学发展的来龙去脉有清楚的介绍。 一个优秀的教师，不仅要授人以业， 还要授人以法， 进而授人以道。
教师要掌握这些“法”和“道”， 必须宏观地理清数学发展的脉络， 深入理解数学的本质。 对于进行数学创新来说， 数学史研究更具有指引作用。 数学史中记载了许多数学家发明发现的生动过程，向学生介绍这些过程， 有助于学生理解掌握创造的方法、 技巧， 从而增强其创造力。 如公元 263年， 刘徽对我国数学古籍《九章算术》的注释中提出了计算圆周长的 “割圆” 思想。 “割之弥细， 所失弥少， 割之又割， 以至于不可割， 则与圆周合体， 而无所失矣”， 这些对极限思想的朴素生动的描写， 对后人是一种创新激励。 大量的数学史料， 对于培养学生坚韧不拔的探索精神， 形成良好的认知结构和知识结构都具有重大意义。
2.6 提高人文修养
许多数学家都是文理兼修的饱学之士， 他们都具有辩证的认知结构和文理贯通的知识结构。因而， 历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。 在高等学校里， 通过数学史学习， 可以使数学系的学生在接受数学专业训练的同时， 获得人文科学方面的修养， 文科或其它专业的学生通过数学史的学习可以了解数学概貌， 获得数理方面的修养。 通过数学史学习可以对学生进行人文教育， 进行美育熏陶。 在中小学数学教育中恰当地融入数学教育取向的数学史， 对学生进行人文教育和美育熏陶，是数学课程改革中值得重视的一个重要课题。
3 在数学教学中融入数学史应注意的问题
如何在基础教育数学教学中渗透数学教育取向的数学史， 是一个国际数学教育界共同关心的问题。 1998 年， 国际数学教育委员会在法国马赛组织了一次 “数学史与数学教育” 的专题研讨会。
这次会议的主题是数学文化， 要求数学教学充分反映数学的文化底蕴， 从课程内容， 概念形成，证明方法， 习题配置等各个方面， 全方位地使数学史融入、 丰富和促进数学教学。
数学文化观念下的数学史教学， 要把握各民族文化发展的历史进程， 看到世界各国的科学技术是如何各自发展， 又如何彼此融合， 互相促进。
数学是人类追求真理的文化结晶。 我们要从数学史中汲取对我们今天有用的文化内涵。
3.1 融数学史于数学教学应重视科学性 、 实用性、 趣味性和广泛性
（1） 科学性是指教师向学生传授的数学史知识必须是正确的。 应该尊重历史， 尊重事实， 既不可随意编造， 也不能无端拔高， 更不可进行艺术加工， 不可把数学史当作故事， 随意虚构。
（2） 实用性是指所讲的数学史对学生的数学学习及将来工作有直接帮助作用。 例如， 初等数学中的数的起源与记法、 发现无理数的过程、 圆周率、 勾股定理、 笛卡尔对直角坐标系的贡献等等； 高等数学中的微积分的概念、 函数的概念、非欧几何的创立， 不仅史料丰富， 而且内容精彩， 非常适合于课堂教学， 对学生理解所学的知识有很大的帮助。 但受课时的限制， 所选内容要精当， 要有所侧重。
（3） 趣味性是指课堂教学要有趣味， 学习内容可以激发学生的学习兴趣。 数学史上惊心动魄、引人人胜的例子不胜枚举， 教师应恰当选材， 使课堂教学娓娓动听。 讲授时要合理地运用语言，全身心地投入表达， 语调与情节配合， 知识性与趣味性共生， 应避免照本宣科或哗众取宠， 要寓教于乐， 注重实际效果。
（4） 广泛性是指选取的数学史知识要涉及面广。 数学是几千年来全人类孜孜以求、 不断探索、历尽千辛万苦共同取得的理性财富。 在整个数学科学发展长河中， 数学是在人类社会变革推动之下， 各国数学家相互交流学习， 共同探索的结果。因此， 在进行数学教育取向的数学史教学时注意选择不同时期、 不同国度的史料。 这样才能全面地、 真正地、 准确地展示数学史的全貌。
3.2 融数学史于数学教育关键在教师
（1） 教师应有广博的数学史知识以及政治 、经济、 哲学、 文化、 历史、 地理等多方面的知识， 教师应加强数学史知识的学习和多学科知识的充实， 丰富自己的阅历。 这样讲课才能得心应手， 将课讲活讲透。 不能将数学史知识生搬硬套地应用到数学教育中。
（2） 数学史知识是穿插在授课内容中的， 不能喧宾夺主， 应以完成授课计划为主。 在授课过程中自然引出， 不应过分渲染， 忽视了正常的教学内容。 正确把握好数学史和课堂教学内容的主次。
（3） 除课堂教学外， 应为学生提供适当的参考文献， 引导学生阅读课外读物， 例如， 各种专题论述、 人物介绍、 学科进展等， 使学生开阔眼界， 启发和引导学生进行正确阅读， 继而进行自学， 使学生终身受益。
（4） 数学史中教书育人的作用是其他数学课无法取代的。 这要求教师应有积极主动的态度，为人师表， 在理想、 道德、 情操方面为学生树立榜样， 提高学生的数学素质和思想素质， 要把爱国主义和国际意识统一起来。
3.3 努力改变 “高评价， 低应用” 的现象
如何将数学史融入数学教学， 是近几年来国际 上 数 学 史 与 数 学 教 学 关 系 国 际 研 究 小 组(HPM) 关注的中心话题， 一些国际知名的 HPM研究者相继对数学史融入数学教学的层次、 过程、 形式和途径进行了深入探讨。 但是， 由于数学教育的复杂性及其现实条件， 真正具有普遍推广价值的研究结果比较少。 在我国， 尽管有很多学者大声呼吁“应该讲点数学史”， 而探讨如何去做的实质性试验研究明显偏少。 于是， 世界各地在融数学史于数学教学方面不同程度地都存在“高评价，低应用”的相悖现象。 这个问题在我国进行基础教育数学新课程改革的今天显得更加突出。
究其原因， 从数学教师的角度来看， 主要有 “四无”， 即手头无资料， 胸中无知识， 课程中无设计， 课堂上无时间； 从考试的“指挥棒”作用上来看， 主要有 “三不”， 即考试不要求， 平时不检查， 学生不愿意花时间； 从教学资源方面来看，主要有 “二少”， 即研究投入少， 教学案例少。 因而导致教学资源（包括显性的和隐性的）不足， 进而影响学生综合素质的提高。因此， 我们要增强教学资源开发意识， 加强试验研究， 努力改变 “高评价， 低应用” 的相悖现象。 国家数学课程标准的颁行， 考试制度的改革， 将会对融数学史于数学教学、 发挥数学史的教育价值有一个实质性的推进。
参考文献：
[1] 杜瑞芝 。 数学史辞典 [M]。 济南 : 山东教育出版社 ，2000, 8.
[2] 汪晓勤 ， 欧阳跃。 HPM 的历史渊源 [J]。 数学教育学报， 2003, 12(3)： 24-27.
[3] 张维忠 ， 汪晓勤 ， 唐恒钧 ， 等。 文化传统与数学教育现代化 [M]。 北京： 北京大学出版社， 2006, 4.
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[5] 教育部。 普通高中数学课程标准 （实验 ）[M]。 北京 : 人民教育出版社， 2003, 4.
[6] 李文林 。 数学史教程 [M]。 高等教育出版社 ， 纽约 :施普林格出版社， 2000, 8.
[7] 李永新， 等。 中学数学教育学概论 [M]。 北京： 科学出版社， 2012, 6.
[8] 张楚廷。 数学文化 [M]。 北京：高等教育出版社， 2000, 7.
浅析中学数学教学中数学史的运用
在中学数学教学中，教师在讲解某一知识点时，将与该知识相关的资料讲述给学生听，比如数学家研究出该知识点时采用的方法、运用的路径等，也就是说在教学过程中适当的将数学史分析给学生，从而让学生能够掌握学习数学的方法，同时还可以拓宽学生的知识面，由此可见，在中学数学教学中，数学史拥有着非常重要的作用，因此，研究数学史的应用对中学数学教学来说有十分重要的现实意义。
1 数学史的教育价值
1.1 能够培养出学生的数学创造性思维能力
在数学教学的过程中，不止要让学生掌握数学知识，还要让学生具备一定的创造性思维能力，具备利用数学知识解决实际问题的能力，这已经发展成为数学教育界的共识，为了完成这一目标，教师在进行中学数学教学时，根据数学史来设计教学内容，有利于培养学生的创造性思维。
1.2 帮助学生认识数学，理解数学思想
在实际的中学数学学习中，有很大一部分学生认为数学既枯燥又难学， 这个现象的存在除了教师的教学方法不恰当之外，学生自身的错误认识也是很重要的原因。 但是如果在中学数学教学过程中恰当的渗透相关数学史内容，不仅可以调动起学生学习数学的兴趣，还可以帮助学生认识数学，理解数学思想，掌握数学学习技巧。
1.3 培养学生的爱国主义精神
在数学方面，我国古代取得了比较灿烂的数学成就，而且有些成就的提出时间要比国外早很多，比如正负数的概念就是我国最先提出的。 在中学数学教学的过程中，通过相关数学史的介绍，让学生充分了解我国灿烂的数学文化，进而培养出学生的爱国主义精神，并增强民族自豪感。
1.4 培养文化素养
在人类发展的过程中，积累并形成了大量的文化，数学作为文化中的重要组成部分，在提高人们的文化素养方面也具有非常重要的作用。 实际上，数学史就是数学文化发展的历史，因此在中学数学教学的过程中，将数学史科学的融入进去，让学生了解并认同数学文化，进而有效的提升自身的文化素养。
1.5 激发学生的学习兴趣
在学生学习数学的过程中，兴趣是最好的学习动机，然而在现阶段的数学学习过程中，学生的学习动机并不明确，导致学生对数学的学习无兴趣，最终影响到数学教学效果。 但是在数学史中，有很多内容都能激发出学生的学习兴趣，比如巧拿火柴棒游戏、哥德巴赫猜想等，这样一来，学生学习数学的兴趣被调动起来，有效的提升了数学教学的效果。
2 数学史材料的选取标准
2.1 科学性与趣味性相结合
所谓科学性， 是指选择的数学史材料内容要符合史实，而且教师在传授数学史时，不能随意更改数学史的内容，更不能虚构数学史内容，要做到尊重历史、尊重事实。而趣味性，是指选择的数学史材料内容要生动或者曲折，以便于能够活跃课堂气氛，调动学生学习的积极性，让学生参与到数学教学过程中。在实际的教学中，教师要做到科学性与趣味性相结合，提高教学效果。
2.2 广泛性与实用性相结合
数学史涵盖的范围非常广，在选择数学史材料时，要选择能够反映不同时期、不同国家、不同文化背景的数学知识，这也是广泛性的要求； 实用性是指所选择的数学史材料要对学生的学习有帮助。将广泛性与实用性结合起来，不仅可以拓宽学生数学文化知识的知识面，还可以直接促进学生的发展，教师在进行教学的过程中，要实现广泛性与实用性相平衡。比如在讲授勾股定理的证明时，可以将国内外的证明方法都演示给学生看，以便于学生能更好地掌握勾股定理。
2.3 可接受性与目的性相结合
教师在选择数学史材料时，要充分的考虑学生的接受能力，要保证最终选取的数学史材料能够与学生所掌握的旧知识以及即将学习的新知识都有联系， 而且在数学史材料中涉及的数学知识难度要适中，以略高于学生的水平为最佳，这样才能达到教学的目的。
3 中学数学教学应用数学史的教学原则
3.1 指导性原则
在中学数学教学的过程中， 教师在选择数学史及运用数学史时，要充分的考虑学生的思考过程中，尽量的做到数学史教材化，实现数学知识与数学史的有机融合。 实际上，数学教学的效果在很大程度上受到二者有机整合的影响，一般来说，整合的过程包括数学史与相关数学知识间的融合、 数学史与学生之间的整合，只有做到有机整合，才能收获更好地教学效果。
3.2 选择性原则
在数学教学的过程中， 根据学生的实际学习水平及学习需求，有选择性、有针对性的将数学史内容融入到教学内容中，另外，根据具体的数学知识在教学中的作用，有选择的融入不同作用的数学史。
3.3 研究性原则
在数学史中，蕴含了数学知识及数学思想的演变进程。在学生学习数学知识的过程中，会因为不理解而产生困惑，学生的这种困惑通过数学史就可以很好地解决。因此，教师要详细的研究数学的概念、理论、方法等的变迁，从中总结出教学难点并重新构建，以便于能够更好的解答学生的困惑，让学生理解并掌握数学思想。
4 中学数学教学应用数学史的方法
4.1 通过方法的比较，引导学生发现学习
从总体上看， 教学内容可以划分为表层知识及深层知识两个层次，表层知识是指数学概念、性质、公式、定理等基本知识，而深层知识是指数学思想和数学方法。 深层知识并不是独立存在的，而是蕴含在表层知识红，需要经过分析及挖掘之后才能掌握，因此，教师在进行教学的过程中，要将相关知识的深层知识渗透给学生，让学生的认识达到质的飞跃。 在实际的教学中，教师可以对相关问题的中外解决办法进行对比， 从对比中让学生学会学习处理数学问题的方法。 比如在证明 1+2+3+……+n=1/2n(n+1)时，教师可以将数学归纳法及数学结合的方法来演示证明过程，从而让学生更好的认识数学思维。
4.2 从具体问题出发，引发学生积极思考
在数学教学过程中， 教师要尽量的将数学的创造过程反映给学生，并能够引导学生积极的对该创造过程进行思考，从而在理解的基础上予以把握，为了良好的实现这一教学目标，就需要教师根据教学内容创设恰当的情境， 让学生置身情境中去发现真理，只有这样，学生才能真正的学会数学知识。 比如等差数列教学，可以利用杨辉的“三阶幻方”来辅助教学，以提升教学效果。
4.3 利用数学史开展探究性学习
研究性学习针对的是学生的学习过程， 通过对知识的研究和探索， 从而有效地提升自身的思维能力及解决实际问题的能力。 在数学教学中，开展探究性学习要以数学史为基础，充分培养学生自主学习的能力。 对于大部分的数学概念、定理来说，都是经过推理得到的，但是教材中只是将结果呈现给学生，缺乏推理的过程，因此，教师可以通过数学史的融入，将过程呈现在学生面前，让学生进行充分的联想、分析及观察，提升学习的兴趣，引导学生主动探究。
4.4 利用历史上的名题
在数学史中蕴含了大量的名题， 这些名题教师可以直接拿来教学，比如希腊三大几何难题、《九章算术》中的应用题等。 通过历史名题的教学， 可以让学生很好地掌握数学思想及数学方法，并培养出学生的创造性思维，提升学生利用数学知识解决实际问题的能力。
4.5 利用历史上的逸闻趣事
在选择数学史内容时，除了注重知识性之外，还要具备趣味性，因此，在教学中，教师可以将一些数学家的成长过程、逸闻趣事等介绍给学生听。很多的数学家成长过程都是比较坎坷的，教师将数学家的这些经历介绍给学生， 不仅可以帮助学生建立克服困难的信心，还可以激励学生励志学好数学。
传统的中学数学教学只是单纯的传授数学知识， 这不利于学生数学思维的培养，学生也无法掌握数学思想，从而降低学生利用数学知识解决实际问题的能力。为了有效的改善这个问题，在数学教学中应用了数学史，让学生了解数学概念、定理、法则、公式等内容的演变过程，从而使学生更好的掌握数学方法，学会学习数学，真正的提高自身的数学思维及数学能力。
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浅谈流形概念的演变与理论发展
一、引 言
流形是 20 世纪数学有代表性的基本概念，它集几何、代数、分析于一体，成为现代数学的重要研究对象。 在数学中，流形作为方程的非退化系统的解的集合出现，也是几何的各种集合和允许局部参数化的其他对象。〔1〕53物理学中，经典力学的相空间和构造广义相对论的时空模型的四维伪黎曼流形都是流形的实例。
流形是局部具有欧氏空间性质的拓扑空间，粗略地说，流形上每一点的附近和欧氏空间的一个开集是同胚的，流形正是一块块欧氏空间粘起来的结果。 从整体上看，流形具有拓扑结构，而拓扑结构是“软” 的， 因为所有的同胚变形会保持拓扑结构不变，这样流形具有整体上的柔性，可流动性，也许这就是中文译成流形(该译名由着名数学家和数学教育学家江泽涵引入)的原因。
流形作为拓扑空间，它的起源是为了解决什么问题？ 是如何解决的？ 谁解决的？ 形成了什么理论？这是几何史的根本问题。 目前国内外对这些问题已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基础上，对流形的历史演变过程进行了较为深入、 细致的分析，并对上述问题给予解答。
二、流形概念的演变
流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 (C.F.Gauss,1777-1855)的内蕴几何思想 ,黎曼(C.F.B.Riemann,1826-1866)继承并发展了的高斯的想法，并给出了流形的描述性定义。 随着集合论和拓扑学的发展，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼对流形的定义， 最终外尔(H.Weyl,1885-1955)给出了流形的严格数学定义。
1. 高斯-克吕格投影和曲纹坐标系
十八世纪末及十九世纪初，频繁的拿破仑战争和欧洲经济的发展迫切需要绘制精确的地图，于是欧洲各国开始有计划地实施本国领域的大地测量工作。 1817 年，汉诺威政府命令高斯精确测量从哥廷根到奥尔顿子午线的弧长， 并绘制奥尔顿的地图，这使得高斯转向大地测量学的问题与实践。 高斯在绘制地图中创造了高斯-克吕格投影， 这是一种等角横轴切椭圆柱投影，它假设一个椭圆柱面与地球椭球体面横切于某一条经线上，按照等角条件将中央经线东、西各 3°或 1.5°经线范围内的经纬线投影到椭圆柱面上， 然后将椭圆柱面展开成平面。
采用分带投影的方法，是为了使投影边缘的变形不致过大。 当大的控制网跨越两个相邻投影带，需要进行平面坐标的邻带换算。 高斯-克吕格投影相当于把地球表面看成是一块块平面拼起来的， 并且相邻投影带的坐标可以进行换算。 这种绘制地图的方式给出了“流形”这个数学概念的雏形。
大地测量的实践导致了高斯曲面论研究的丰富成果。 由于地球表面是个两极稍扁的不规则椭球面，绘制地图实际上就是寻找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用复变函数，得出两个曲面之间存在保角映射的充要条件是两个曲面的第一类基本量成比例。 高斯关于这一成果的论文《将一给定曲面投影到另一曲面而保持无穷小部分相似性的一般方法》 使他获得了 1823 年哥本哈根科学院的大奖，也使他注意到当比例常数为 1 时，一个曲面可以完全展开到另一个曲面上。 高斯意识到这个成果的重要性，在论文的标题下面写下了一句话：“这些结果为重大的理论铺平了道路。 ”〔8〕189这里重大的理论就是高斯后来建立的内蕴几何学。
全面展开高斯的内蕴几何思想的是他 1827 年的论文《关于曲面的一般研究》，这是曲面论建立的标志性论述。〔2〕163高斯在这篇文章中有两个重要创举：第一，高斯曲率只依赖于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，测地三角形内角和不一定等于 180°，它依赖于三角形区域的曲率积分。 高斯的发现表明，至少在二维情况下可以构想一种只依赖于第一基本形式的几何，即曲面本身就是一个空间而不需要嵌入到高维空间中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在这两篇论文中都使用曲纹坐标(u,v)表示曲面上的一个点，这相当于建立了曲面上的局部坐标系。 突破笛卡尔直角坐标的局限性是高斯迈出的重要一步，但问题是：曲纹坐标只适用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的点都有坐标表示，就需要在曲面上建立若干个局部坐标系，那么这些坐标系是否彼此协调一致？ 这是高斯的几何的基础。 高斯当时不具备足够的数学工具来发展他的几何构想，但高斯对空间的认识深刻地影响了黎曼。
2. 黎曼的“关于几何基础的假设”
黎曼在 1851 年的博士论文 《单复变函数的一般理论》中，为研究多值解析函数曾使用黎曼面的概念，也就是一维复流形，但流形是什么还没有定义。 在高斯的几何思想和赫巴特(J.F.Herbart,1776-1841)的哲学思想的影响下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演讲《关于几何基础的假设》，演讲中他分析了几何的全部假设，建立了现代的几何观。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 维流形的概念，第二部分是适用于流形的度量关系，第三部分是对空间的应用。
黎曼在开篇中提到：“几何学事先设定了空间的概念， 并假设了空间中各种建构的基本原则。 关于这些概念，只有叙述性的定义，重要的特征则以公设的形态出现。 这些假设(诸如空间的概念及其基本性质)彼此之间的关系尚属一篇空白；我们看不出这些概念之间是否需要有某种程度的关联，相关到什么地步，甚至不知道是否能导出任何的相关性。 从欧几里得到几何学最着名的变革家雷建德，这一领域无论是数学家还是哲学家都无法打破这个僵局。 这无疑是因为大家对于多元延伸量的概念仍一无所知。 因此我首先要从一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411从开篇中我们可以看到黎曼演讲的目的所在：
建立空间的概念，因为这是几何研究的基础。 黎曼为什么要建立空间的概念？ 这与当时非欧几何的发展有很大关系。 罗巴切夫斯基(N.L.Lobatchevsky,1793-1856) 和波约 (J.Bolyai,1802-1860) 已经公开发表了他们的非欧几何论文，高斯没有公开主张非欧几何的存在，但他内心是承认非欧几何并做过深入思考的。 然而就整个社会而言，非欧几何尚未完全被人们接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空间是什么这个问题来统一已经出现的各种几何；并且不止如此，黎曼主张一种几何学的全局观：作为任何种类的空间里任意维度的流形研究。
黎曼在第一部分中引入了 n 维流形的概念。 他称 n 维流形为 n 元延伸量，把流形分为连续流形与离散流形，他的研究重点是把连续流形的理论分为两个层次，一种是与位置相关的区域关系，另一种是与位置无关的大小关系。 用现代术语来讲，前者是拓扑的理论，后者是度量的理论。 黎曼是如何构造流形呢？他的造法类似于归纳法，n+1 维流形是通过 n 维流形同一维流形递归地构造出来的； 反过来，低维流形可以通过高维流形固定某些数量简缩而成。 这样每一个 n 维流形就有 n 个自由度，流形上每一点的位置可以用 n 个数值来表示，这 n 个数值就确定了一个点的局部坐标。 黎曼这种构造流形的方法显然是受到赫巴特的影响。 赫巴特在《论物体的空间》中提到：
“ 从一个维度前进到另一个维度所依据的方法，很明显是一个始终可以继续发展的方法，然而现在还没有人会想到按空间的第三个维度去假设空间的第四个维度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的启发并突破了三维的限制按递归的方法构造了 n 维流形， 这种构造方法体现了几何语言高维化的发展趋势。 从本质上讲， 黎曼的 “流形” 概念与当时格拉斯曼 (H. G.Grassmann,1809-1877) 的 “ 扩张 ” 概念和施莱夫利(L. Schlafli,1814-1895)的 “连续体 ”概念基本一致 .〔6〕83流形应具有哪些特征呢？ 黎曼提到：
“把由一个标记或者由一条边界确定的流形中的特殊部分称为量块(Quanta)，这些量块间数量的比较在离散情形由数数给出，在连续情形由测量给出。 测量要求参与比较的量能够迭加，这就要求选出一个量，作为其他量的测量标准。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量块体现了现在拓扑学中的邻域概念的特征，“参与比较的量能够迭加”则是要求两个量块重叠的部分有统一的测量标准， 即保证任意两个局部坐标系的相容性，这在后来由希尔伯特发展为 n 维流形局部与 n 维欧氏空间的同胚。 黎曼这种引入点的坐标的方法并不是很清晰的，这种不清晰来自他缺乏用邻域或开集来覆盖流形进而建立局部坐标系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼讨论了流形上容许的度量关系。 他在流形的每一点赋予一个正定二次型，借助高斯曲率给出相应的黎曼曲率概念。 进一步，黎曼陈述了一系列曲率与度量的关系。 曲面上的度量概念， 等价于在每一点定义一个正定的二次型，亦称为曲面的第一基本形式。 自高斯以来，第一基本形式的内蕴几何学几乎一直占据着微分几何的中心位置。 从后来的希尔伯特和外尔的流形的定义可看出，他们都延续了高斯的内蕴几何思想。
3. 希尔伯特的公理化方法
从 19 世纪 70 年代起，康托尔(G. Cantor,1845-1918)通过系统地研究欧几里得空间的点集理论，创立了一般集合论，给出了许多拓扑学中的概念。 康托尔的研究为点集拓扑学的诞生奠定了基础，这使得希尔伯特能够利用一种更接近于拓扑空间的现代语言发展流形的概念。 希尔伯特在 1902 年的着作《几何基础》中引进了一个更抽象的公理化系统，不但改良了传统的欧几里得的《几何原本》，而且把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。在这部着作中他尝试以邻域定义二维流形(希尔伯特称之为平面， 而把欧氏平面称为数平面)，提出了二维流形的公理化定义：
“平面是以点为对象的几何， 每一点 A 确定包含该点的某些子集，并将它们叫做点的邻域。
(1) 一个邻域中的点总能映射到数平面上某单连通区域，在此方式下它们有唯一的逆。 这个单连通区域称为邻域的像。
(2)含于一个邻域的像之中而点 A 的像在其内部的每个单连通区域， 仍是点 A 的一个邻域的像。若给同一邻域以不同的像，则由一个单连通区域到另一个单连通区域之间的一一变换是连续的。
(3)如果 B 是 A 的一个邻域中的任一点 ,则此邻域也是 B 的一个邻域。
(4)对于一点 A 的任意两个邻域 ,则存在 A 的第三个邻域，它是前两个邻域的公共邻域。
(5)如果 A 和 B 是平面上任意两点 ,则总存在A 的一个邻域它也包含 B. ”
〔12〕150可以看出在希尔伯特的定义中，(1)和(2)意味着在平面(二维流形)的任意一点的邻域到数平面(欧氏平面)的某单连通区域上都能建立同胚映射。 (3)-(5)意图是要在平面(二维流形)上从邻域的角度建立拓扑结构。 希尔伯特的定义延续了黎曼指明的两个方向：流形在局部上是欧氏的(这一点黎曼已经以量块迭加的方式提出)，在整体上存在一个拓扑结构。 这个拓扑结构希尔伯特显然要以公理的方法建立 (这一工作后来由豪斯道夫完成，豪斯道夫发展了希尔伯特和外尔的公理化方法，在 1914 年的着作《集论基础》 中以邻域公理第一次定义了拓扑空间)，〔13〕249但与豪斯道夫的邻域公理相比， 他的定义还不完善，比如(3)中描述的实际上是开邻域。 另外，他没有提流形须是一个豪斯道夫空间。希尔伯特已经勾勒出流形的基本框架，随着拓扑学的发展，外尔完善了希尔伯特的工作，给出了流形的现代形式的定义。
4. 外尔对流形的现代形式的定义
(a) 给定一个称为”流形 F 上的点“的集合，对于流形 F 中的每一点 p,F 的特定的子集称为 F 上点 p 的邻域。点 p 的每一邻域都包含点 p,并且对于点 p 的任意两个邻域，都存在点 p 的一个邻域包含于点 p 的那两个邻域中的每一个之内。 如果 U0是点 p0的一个邻域，并且点 p 在 U0内，那么存在点 p的一个邻域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的两个点， 那么存在 p0的一个邻域和 p1的一个邻域使这两个邻域无交，也就是这两个邻域没有公共点。
(b) 对于流形 F 中每一定点 p0的每一个邻域U0,存在一个从 U0到欧氏平面的单位圆盘 K0(平面上具有笛卡尔坐标 x 和 y 的单位圆盘 x2+y2<1)内的一一映射，满足(1)p0对应到单位圆盘的中心；(2)如果 p 是邻域 U0的任意点，U 是点 p 的邻域且仅由邻域 U0的点组成， 那么存在一个以 p 的像 p′作为中心的圆盘 K, 使得圆盘 K 中的每一点都是 U中一个点的像；(3)如果 K 是包含于圆盘 K0中的一个圆盘，中心为 p′，那么存在流形 F 上的点 p 的邻域 U,它的像包含于 K. ”〔15〕17可以看出，(a)从邻域基的角度定义了 F 是一个豪斯道夫空间。 (b)中的映射为一一的、双向连续的(即同胚)映射，这样(b)定义了 F 中任意一点都有一个邻域同胚于欧氏空间中的一个开集)○(。 外尔给出的这个定义正是现代形式的流形的定义，尽管外尔的定义是针对二维的情形，但本质上给出了流形精确的数学语言的定义， 并且推广到高维没有任何困难。
一般认为，高维流形的公理化定义由维布伦(O.Veblen,1880-1960) 和 怀 特 黑 德 (A.N.Whitehead,1861-1947)于 1931 和 1932 年给出，即把流形作为带有最大坐标卡集和局域坐标连续以及各阶可微变换的点集。 实际上，这种看法没有足够重视外尔1919 年对黎曼讲演的注释， 特别是未能利用外尔1925 年的长文《黎曼几何思想》。 事实上，除了未对高阶微分结构予以明确区分外，外尔的注释和长文中实质上包含了高维微分流形的定义。
三、流形理论的发展
我们上面提到的流形指拓扑流形，它的定义很简单，但很难在它上面工作，拓扑流形的一种---微分流形的应用范围较广。 微分流形是微分几何与微分拓扑的主要研究对象，是三维欧氏空间中曲线和曲面概念的推广。 可以在微分流形上赋予不同的几何结构(即一些特殊的张量场)，对微分流形上不同的几何结构的研究就形成了微分几何不同的分支。 常见的有：
1. 黎曼度量和黎曼几何
仿紧微分流形均可赋予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了丰富的几何内容，就可以测量长度、面积、体积等几何量，这种几何称为黎曼几何。黎曼这篇《关于几何学基础的假设》的就职演说，通常被认为是黎曼几何学的源头。 但在黎曼所处的时代，李群以及拓扑学还没有发展起来，黎曼几何只限于小范围的理论。 大约在 1925 年霍普夫(H.Hopf,1894-1971)才开始对黎曼空间的微分结构与拓扑结构的关系进行研究。 随着微分流形精确概念的确立，特别是嘉当(J.Cartan,1869-1951)在 20世纪 20 年代开创并发展了外微分形式与活动标架法， 李群与黎曼几何之间的联系逐步建立了起来，并由此拓展了线性联络及纤维丛的研究。
2. 近复结构和复几何
微分流形 M 上的一个近复结构是 M 的切丛TM 的一个自同构，满足 J·J=-1. 如果近复结构是可积的，那么就可以找到 M 上的全纯坐标卡，使得坐标变换是全纯函数， 这时就得到了一个复流形，复流形上的几何称为复几何。
3. 辛结构和辛几何
微分流形上的一个辛结构是一个非退化的闭的二次微分形式，这样的流形称为辛流形，辛流形上发展起来的几何称为辛几何。 与黎曼几何不同的是，辛几何是一种不能测量长度却可以测量面积的几何，而且辛流形上并没有类似于黎曼几何中曲率这样的局部概念，这使得辛几何的研究带有很大的整体性。 辛几何与数学中的代数几何，数学物理，几何拓扑等领域有很重要的联系。
四、结 语
以上谈到的是流形的公理化定义的发展历史，其线索可概括为高斯---黎曼---希尔伯特---外尔。 导致流形概念诞生的根本原因在于对空间认识的推广：从平直空间上的几何，到弯曲空间上的流形概念的历史演变几何，再到更抽象的空间---流形上的几何。 流形概念的一步步完善与集合论和拓扑学的发展，特别是邻域公理的建立密不可分，(微分) 流形已成为微分几何与微分拓扑的主要研究对象，并发展成多个分支，如黎曼几何、复几何、辛几何等。 所以说，几何学发展的历史就是空间观念变革的历史，伴随着一种新的空间观念的出现和成熟，新的数学就会在这个空间中展开和发展。
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